椭圆及其标准方程(课时).doc

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1、椭圆及其标准方程(第一课时)广州市九十七中伍晓焰【教学目标】双基：理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用．能力：通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力．【教学重点与难点】重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．难点：椭圆标准方程的推导与化简．【教学手段】运用多媒体和实物投影仪等辅助教学．【教学过程】一、创设情景、引入概念首先用多媒体演示“神州六号”飞船绕地球旋转运行的画面

2、，并描绘出运行轨迹图．问一“神州六号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子．再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历．教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的．（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）二、尝试探究、形成概念引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨

3、迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征．学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．）启发、归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

4、引导学生找定义的关键处：①平面曲线；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于．（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．）三、标准方程的推导由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）问二怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则──利用曲线的几何特征，特别

5、是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）经学生讨论易得如下方案：．建系．取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系．．设点．设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则．又设与距离之和等于()．．列式．依据椭圆的定义，有．，，．教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法．（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．在此应抓住

6、机会加强运算技能的训练．）．化简．通过移项,两次平方后得到：，两边同除以，得．（※）由椭圆的定义可知，,即，思考：观察右图，能从中找出表示的线段吗？由图可知，．令，那么（※）就是．（）此即为椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程．问三：如果椭圆的焦点，在轴上，线段的垂直平分线为轴，，，意义同上，椭圆的方程形式又如何？学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只要将方程中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程．要求学生课后推导验证．（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程．）引导学生注意理

7、解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；②在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．四、例题讲解例已知椭圆的两个焦点坐标分别是()，（，），椭圆上一点到两焦点的距离之和等于，求它的标准方程．（先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为　　　　．因为，，所以，．所以，－－．所以所求椭圆标准方程为．例已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－，）和（,），过点（,），求它的标准方程．（先让学生分析解题思路

8、．除了强调从定义、标准方