椭圆及其标准方程.doc

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1、椭圆及其标准方程　一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决

2、办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？第8页共8页对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到

3、两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……在此基础上，引导学生概括椭圆的

4、定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

5、F1F2

6、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．第8页共8页学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=

7、F1F2

8、，则是线段F1F2；若常数＜

9、F1F2

10、，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于

11、F1F2

12、”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程

13、的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设

14、F1F2

15、=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，

16、0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M

17、

18、MF1

19、+

20、MF2

21、=2a｝．第8页共8页(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2

22、-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．第8页共8页教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题　平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定