椭圆及其标准方程

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1、学科：数学教学内容：椭圆及其标准方程【基础知识精讲】1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+=1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+=1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2

2、的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.本节学习方法：1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等.2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一般都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决.【重点难点解析】同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，主要掌握椭圆的定义及其标准方程，需要大家学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进

3、行反复的再思考，再分析再理解.例1求与椭圆+=1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+=1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+=1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+=1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+=1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(-，0)，F2(，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜=+=2∴a2=15b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+=1例2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(

4、-，-)，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m=，n=∴所求椭圆方程为+=1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜=，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2==∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos=∴b2=a2-c2=

5、故所求方程为+y2=1或x2+=13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法.例4已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+=1(在已知圆C1内)【难题巧解点拨

6、】例1已知MN是椭圆+=1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y=(x+a)①直线BN的方程为：y=②①×②得：y2=(x2-a2)③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x2y2b2∴x2=-y02,代入得③得：y2=(x2-a2)∴交点P的轨迹方程为-=1例2已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P(，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(

7、点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减并除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2)=0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y·=0(*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将=代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)