2011高考数学总复习 6.1 不等式的性质夯实基础 大纲人教版.doc

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1、6.1不等式的性质巩固·夯实基础一、自主梳理1.实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据,也是求差法的依据.(1)a>ba-b>0;(2)a=ba-b=0;(3)abbb,c为整式或实数a+c>b+c.单向性:(3)定理2(传递性):a>b,b>ca>c.(4)定理3推论(叠加性):a+c>b+d.(5)定理4(可乘性):ac>bc;acbd

2、.(7)定理4推论2(可乘方性):a>b>0an>bn(n∈N*且n>1).(8)定理5(可开方性):a>b>0>(n∈N*且n>1).3.重要不等式、结论(1)a、b∈R,a2+b2≥2ab当且仅当a=b时取等号;(2)a、b∈R+,≥当且仅当a=b时取等号;(3)a>b,ab>0<.二、点击双基1.若aB.2a>2bC.

3、a

4、>

5、b

6、D.()a>()b解析：由a0,因此a·成立;由a-b>0.因此

7、a

8、>

9、

10、b

11、>0成立.∵y=()x是减函数,∴()a>()b成立.故B不成立.答案：B2.(经典回放)设a、b、c、d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是()4A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.>解析：∵a>b,c>d,∴a+c>b+d.答案：A3.若x>1>y,下列不等式中不成立的是()A.x-1>1-yB.x-1>y-1C.x-y>1-yD.1-x>y-x解析：利用不等式的性质直接判断.答案：A4.(2010北京东城检测)已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是()A.a>

12、>B.>>aC.>>aD.>a>解析:因为a<0,b<-1,则>0,b<-1,则b2>1.∴<1.又∵a<0,∴0>>a.∴>>a.故选C.答案:C5.a>b>0,m>0,n>0,则,,,由大到小的顺序是_________________________.解析：取特殊值.如a=2,b=1,m=n=1,则=,=2,=,=.∴>>>.答案:>>>诱思·实例点拨【例1】已知≤x≤,则(1)1-x的取值范围是［,］;(2)x(1-x)的取值范围是［,］.以上命题是否正确,若错误予以纠正;若正确,请予证明.剖

13、析:(1)已知x的取值范围可求得-x的取值范围进而可求出1-x的取值范围.(2)由x以及1-x的取值范围求x(1-x)的取值范围时,利用不等式的叠乘性要注意等号成立的条件.解:(1)该命题正确.∵≤x≤,∴-≤-x≤-.∴≤1-x≤,4即1-x的取值范围是［,］.(2)该命题不对.∵≤x≤,≤1-x≤,∴

14、以作加法运算,同向不等式两边为正时,可以作乘法运算.但如果涉及到等号,能否取到最值,则要同时满足各个取等条件,这一点常易疏漏.【例2】已知a∈R,试比较与1+a的大小.剖析:要判断与1+a的大小,只需研究它们差的符号.解:-(1+a)=.(1)当a=0时,=0,∴=1+a.(2)当a<1,且a≠0时,>0,∴>1+a.(3)当a>1时,<0,∴<1+a.讲评:实数的大小比较常常转化为它们差的符号的判定,里面含有字母时常需分类讨论.链接·拓展a、b∈R,a2b2+a2+5>2ab+4a,则a、b应满足

15、的条件是________________________.提示:原不等式可化为(ab-1)2+(a-2)2>0.故a≠2或b≠.【例3】已知x、y∈R+且2x+y=1,求+的最小值.剖析:本题要求根据条件求最值,如何合理利用条件2x+y=1是解答本题的关键,可在要求的式子上乘以(2x+y),也可通过三角换元转化为三角问题.4解:+=+=3++≥3+2,当且仅当=,即x=1-,y=-1时取等号.故+的最小值为3+2.讲评:对于最值问题求解方法较多,但用均值不等式求最值时,要注意三个条件,即:“一正、二

16、定、三相等”.解答此题的关键是把两个分子中的“1”换成“2x+y”，或用下列方法：+=(2x+y)×(+)=3++…或用下面三角换元法:令x=,y=sin2θ〔其中θ∈(0,)〕,+=+=+=3++…链接·聚焦判断下列解法是否正确?为什么?∵1=2x+y≥2(x、y∈R+),∴≤.∴≥2.又∵+≥2≥42,故+的最小值为4.4