《数值分析》中的pade逼近教学

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1、2013年第15卷第6期巢湖学院学报No．6．，Vo1．15．2013总第123期JournalofChaohuCollegeGeneralSefialNo．123《数值分析》中的Pad6逼近教学陶有田1,2，3王冬银1张千祥1徐富强1(1巢湖学院数学系，安徽巢湖238000)(2中国科学技术大学数学科学学院博士后流动站，安徽合肥230026)(3安徽富煌钢构博士后工作站，安徽巢湖238076)摘要：本文首先用Pad6逼近及有理插值的方法来逼近区间卜1，1]上的函数击，并将之与多项式插值进行比较。这两种逼近方式均可精确逼近该函数，完全避免了Rung

2、e现象。其次，介绍了向量值连分式，并用其精确表示圆弧和椭圆弧。这样就加深了学生对Pad6逼近的直观印象，增强了教学效果。关键词：多项式；Pad6逼近；教学中图分类号：G642；O241．5文献标识号：A文章编号：1672—2868(2013)06—0128—061引言Pad6逼近是一种特定类型的有理逼近。它是Taylor多项式逼近的自然引伸，是有理函数逼近的一种重要形式，其在微分方程[】1、积分方程[21和控制论[31等领域中有着广泛的应用。Pad6逼近函数可以有效的逼近或插值有奇点及剧烈振荡的函数，这是很多其他逼近形式所不具备的。若学生能了解及掌

3、握Pad6逼近的基本定义及构造方法，对以后从事与之相关的研究将大有帮助。在《数值分析》实际教学中，该部分内容是一个教学难点。因为Pad6逼近与本课程中的多项式逼近及插值不同，它是有理分式，在形式上很复杂，且其存在性还须讨论。本文首先用Pad6逼近及有理插值的方法来逼近函数)=，xE[-1，l】，并将之与多项式插值进行比较，可以发现，这两种逼近方式均可精确逼近该函数，完全避免了Runge现象；其次，介绍了向量值连分式，并用其精确逼近圆弧。通过上述方法的讨论，可以加深学生对Pad6逼近的直观印象。文章中的算例及图形我们是通过数学软件Mathematic

4、a完成的。2有理插值设(镌，yi)，i=0，1，⋯，m+rt是与Y=)有关的型值点，其中互异，Yi=(筏)，0，1，⋯，m+n。所谓有理插值．就是寻求有理分式函数收稿日期：2013—09—15基金项目：安徽高校省级自然科学研究项目(项目编号：KJ2013A194，KJ2013Z230)，巢湖学院科学研究项目(项目编号：XLZ一201001)，巢湖学院教学研究项目(项目编号：jyxm201125)，巢湖学院教学团队项目(项目编号：chl2td01)作者简介：陶有田(1978～)，男，安徽长丰人。巢湖学院副教授。研究方向：有理函数逼近及其应用，CAGD

5、。128==满足插值条件巧)O,l,---,m+n·(2)则称()为厂()的满足插值条件的(m，n)型有理插值函数[4]。．欲求al，i=0，1，⋯，m；bj,j=0，1，⋯，n则须求非线性方程组(2)。将(1)中的Q()规范化为首一的，即b=1，再将(1)化为如下的线性形式ao+n1+⋯+(60+bl+⋯+6)=0，i=0，1，⋯，m+rt，(3)其中b=l。这是一个线性方程组，若其有唯一解，则插值问题存在且唯一。设)击，E[-l，l】，。它是一个有理函数，常被用来验证多项式插值的Runge现象。现对其作10次Lagrange等距插值，得插值多项

6、式为Llo()1(1768—29800x+218100x一674375+875000x一390625x1~)，插值节点为=一1+3-，i=0，1，⋯，10·(4)将Llo()与原函数的图像作对比，如图1。可以看出，出现了明显的Runge现象。『、^I．『1If1l5——f(x1f一￡10fx1＼0．5／。＼一／，。。。：＼图I多项式插值f(x)出现了Runge现象其Mathematica代码如下。代码1：Needs[”PlotLegends’]fIx-]=1／(1+25x2)；(函数的定义区间)a=一1；b=l；(：．c给区间分n段)n=10；Ar

7、ray[tl，n+1]；Do[tl[i]=a+(b-a)／ni，{i，0，n}】；t2=Table[{tl[i】，f[t1[i]])，{i，0，n)】；interf=InterpolatingPolynomial[t2，X】；129Simplify[interf]Plot[if[x]，interf}，{x，a，b}，PlotStyle{{RGBColor[0，0，0】，Thickness[0．006])，{RGBColor[0，0，0】，Dashing[{0．03，o．o1]】，Thickness[0．006]}}，PlotLegend{tIfix

8、)”，”L10(x)”1，LegendShadow{0，0}，LegendSize0．5】我们注意到，与)一样，R(⋯)(