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1、1.对Runge函数用在区间[-1,1]下列条件作插值逼近，并和的图像进行比较。（1）用等距节点，h=0.2,绘出它的10次Newton插值多项式的图像。（2）用节点(i=0,1,…,10)，绘出它的10次Newton插值多项式的图像。（3）用等距节点，h=0.2,绘出它的分段线性插值多项式的图像。（4）用等距节点，h=0.2,绘出它的三次自然样条线性插值多项式的图像。解：当x在中间取值范围时，Newton插值曲线与原曲线比较接近，但是当x在两端时，Newton插值曲线与原曲线相差越来越大，出现了Runge现象。插值余项.由插值多项式的唯一性知，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同
2、的余项表达式，即由此有.牛顿前插公式为.其余项为牛顿后插公式为.其余项为在这里由于x不是等距节点，Lagrange插值曲线与原曲线比较接近，没有出现Runge现象。给定，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式.称为关于的次拉格朗日插值多项式，它满足.其中称为为结点的次插值函数，它满足.设是上关于的次插值多项式，在上有阶连续导数，在上存在，则其余项为.分段线性插值函数在区间上是一致收敛的，曲线与原曲线比较接近，不会出现Runge现象，但是需要用分段函数来表示。①n越大，分段越多，节点间距越小，分段直线越逼近于原函数曲线；②由于在每个节点处，分段线性插值函数都是取该点的原函数的值，故In
3、x具有很好的收敛性，不会像拉格朗日插值那样出现振荡现象；③由于对于x点的插值，分段线性插值只用到x左右的两个节点，并且用直线直接相连，因此分段线性插值在节点处不光滑。三次自然样条插值曲线与原曲线很接近。设为三次样条插值函数，则有估计式，.其中：.可见，当时，三次样条插值函数及其一阶导数、二阶导数分别一致收敛于被插函数、及.在以上四种插值方法中，三次自然样条插值方法得到的曲线与原曲线最相近。拉格朗日插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，但在端点处有较为明显的振荡现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值曲线在n较小时也会在端点附近有相对较大的误差
4、，但兼具了收敛和光滑的优点，从直观上看与原函数曲线吻合得最好。Matlab程序如下：x0=-1:0.2:1;%初始数据y0=1./(1+25*x0.^2);x=-1:0.01:1;%插值点y=1./(1+25*x.^2);n=max(size(x0));l=max(size(x));s=1;%一次因子的乘积,预设为1dx=y0;%差商fork=1:ls=1;%一次因子的乘积,预设为1dx=y0;%差商yz=y0(1);fori=1:n-1dx0=dx;forj=1:n-idx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j));enddf=dx(1);s=s
5、*(x(k)-x0(i));%一次因子乘积yz=yz+s*df;%计算各次Newton插值的值endyx(k)=yzendfigure;plot(x,yx,'r','LineWidth',2);holdon;plot(x,y,'b','LineWidth',2);gridon;plot(x0,y0,'ok','markersize',6,'LineWidth',6)holdontitle('Newton插值曲线与原曲线比较','fontsize',24);xlabel('x轴','fontsize',20);ylabel('y轴','fontsize',20);legend('N
6、ewton插值曲线','原曲线:1/(1+25*x^2)');set(gca,'fontsize',16)i=1:11x0=cos((2*i-1)/22*pi)y0=1./(1+25*x0.^2);x=-1:0.01:1;%插值计算点y=1./(1+25*x.^2);m=length(x);n=11;fork=1:m%分别对每一点进行插值tx=x(k);%插值点s=0;%进入迭代计算过程forj=0:(n-1)t=1;fori=0:(n-1)ifi~=jt=t*(tx-x0(i+1))/(x0(j+1)-x0(i+1));endends=s+t*y0(j+1);endyx(k)=
7、s;end%画图显示结果figure;plot(x,yx,'r','LineWidth',2);holdon;plot(x,y,'b','LineWidth',2);gridon;plot(x0,y0,'ok','markersize',6,'LineWidth',6)holdontitle('Lagrange插值曲线与原曲线比较','fontsize',24);xlabel('x轴','fontsize',20);ylabel('y轴','fontsize',20);legen
