“直线与圆”问题探析

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1、长庚【编者的话】探析经典题目可让数学学习更有效率，更好地巩固、运用所学的数学知识，从而理解数学，学会解题．该专栏只有一个目的：让你看到实实在在的、拥有良好数学思维习惯的审题过程，从而养成好的解题习惯，进一步找到适合自己的解题方法．当然，各人思路不尽相同，如果你有令人“惊艳”的想法和灵感，不妨给我们写信或发电子邮件(xingaokaol@163．corn)，也可谓“以题会友”．1．已知圆Lzq-Y。一4上有且只有四个变化——平移．参数的变化蕴含着图形的运最到直线12x～5y十f—O的距离为1，则f动，我们可以在运动变化的过程中

2、探究的取值范围是问题．如图1，圆的半径是2，当直线从距圆较远的地方向靠近圆的方向移动(仍然可以用透明的尺子来演示)，一开始较远，圆上没有到直线距离为1的点，再平移下去呢，平移到哪里圆上会有1个点到直线的距离为1，图1到哪里有2个、3个、4个点?有无更多点的题目要我们干什么?求c的范围，这意可能?再继续平移下去，情况又会怎么样?味着C是变化的．从中你可以找到解决问题的思路．当f变化时，直线12z一5+一0如何**********2．设曲线Y一．z一6x+1与坐标轴的交呢?显然要转化为代数关系，甚至应该是关点都在圆C上．于a的关

3、系式(方程)，进而解出n的值．OA(1)求圆C的方程；上0B是几何关系，“翻译”成代数条件是什(2)设圆C与直线z—Y+n一0交于A，么?可以是直线0lA，OB的斜率之积为一1B两点，且OAj_0B，求口的值．(如果斜率都存在的话)，即·Y_32_一一1，可第(1)问，略，见本期文章《直线与圆问,T1J02题错解分析与对策》例4，圆c的方程为(．z一得zz+Y一0．如OA或OB的斜率不存3)+(一1)。一9．在，该式同样成立．第(2)问，题目要我们干什么?求n的如何将这个表达式与a联系起来?只值．当n变化时，我们以运动的观点

4、来看，可要注意到表达式中字母的意义，可能就会把以认为是直线在作平移，在平移的过程中，注意力集中到直线与圆的交点上来了．可能在某一“时刻”0lAJ_OB，就求这一“时设A(z，Y)，B(1z，Y)，其坐标满足方刻”对应的n的值．f一、，+n0．条件OA_LOB是几何关系，如何转化程组i(z_二3)z+(v～1)z一9．消去，得方程#}女静锶㈡0_l啦搿托、i巍拜∞∞∥—3。I。、埘《∞。萋j誊曩l1．0==：(1zl+以)(z24-以)一-z1Lz2+以(-z1+z2)+n．可以得到口的值来了’吧．不过此时的a的值是否一定能保

5、证直线与圆相交呢?又怎样验证呢?请你继续思考下去．3．设圆C：(z+4)。+一16，直线Z：程，可得Y===±知道了G的坐标，余下z一一4，点F(一2，0)．的就不用多说了吧．(1)G是圆上一点，若直线FG与直线Z第(2)问，是探索性问题，我们并不知道交于点T，且G是线段F丁的中点，求直线问题的答案．一般是先假设存在，然后去寻FG被圆C所截得的弦长；找，如果找到，即表明存在；找不到或出现矛(2)在平面上是否存在一点P，使得对盾，说明不存在．理由也自在其中了．设P(s，￡)，G(x。，Y。)(设是为了探求，即圆c上任一点G，都

6、有第一17若存在，求把条件具体表达出来)，出点P的坐标；若不存在，请说明理由．I'GF1得题目的条件较多，我们在审题时，需要边读题边画图，必要的话将条件标注在图形一寺，整理得3(z+j)4-(164-2s)z。4-2￡。上．(如图2)＼+16一S一t一0．7’8上式的字母太多了，没了头绪?别急，

7、6’别忘了目标．探求点P的存在，即要探索S，t的存在，也就是试图从上式求出S，t来，那剩下的。，Y。又是什么?．j--G(x。，Y。)是圆上的点，这意味着．z：++_8x。一O，有什么用，再盯住上式看看，噢，代人上圈2式化简，可得(

8、2s-8)Xo+2ty。+16—5。一--0．第(1)问，要求直线被圆c所截得的弦能从中求出，t了吗?如果解此方程，长，一般方法是什么?为避免求解交点的麻好像不行．怎么办，我们再思考，我们更进一烦，可以利用弦心距、半径转化，即弦长d弦长步地认识式子的意义．-二2、／／r一。．本题中圆的半径已知，求弦心我们想求出S，t，G(3C。，Y。)是圆上的任距就要知道直线的方程，如何求呢?意的点，z。，Y。是变化的，有无数多个，这表我们先来分析直线是如何被确定的．直明，式子(2s一8)zo+2ty。4-l6一一t一0对线过定点F，确定直

9、线方程还差一个条件，还无数多个z。，Y。都成立，即(2s8)。+2ty。有什么条件没用上，知道这一点很重要．G是+16一S一t一0是关于。，Y。的恒等式，这线段F丁的中点，能得到什么?可得G(-8，意味什么呢?你是否想到应该有：)，即知道G的横坐标是一3，还有什么方法f2s一8一O’能知道