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1、第二章线性方程组目的：研究线性方程组的解的结构向量的线性相关性向量组的秩齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构内容：分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一向量的定义及运算定义2.1.1由n个数a1,a2,…,an顺序构成的n元有序数组称为n元向量(或n维向量)，记为α=（a1,a2,…,an）,(2.1.1)称ai为向量α的第i个分量（i=1,2,…,n）.例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用 等表示，如：维向量写
2、成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用 等表示，如：注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义定义2.1.2设(a1,a2,…,as）,β=(b1,b2,…,bt).若s=t且ai=bi(i=1,2,…,s),则称向量α与β相等，记为α=β.定义2.1
3、.3(1)设α=（a1,a2,…,an）,β=（b1,b2,…,bn）是两个n元向量,则称下列向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）为向量α与β的和，记为α+β.（2）设α=（a1,a2,…,an）是n元向量，k是数，称下列向量（ka1,ka2,…,kan）的数量乘积，记为kα.为数k与向量α例2.1.1设α=（a1,a2,…,an）是任一n元向量，则0α=（0,0,…0）(-1)α=（-a1,-a2,…,-an）我们称分量全为零的向量（0,0,…,0）为零向量，记为θ；称向量（-a1,-a2,…,-an）为向量
4、α的负向量，记为-α.向量的减法性质2.1.1设α，β，γ是任意三个n元向量,k,l是任意两个数，则有（1）α+β=β+α（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）（3）α+θ=α（θ是n元零向量）（4）α+（-α）=θ（5）1α=α（6）（kl）α=k(lα)（7）(k+l)α=(kα+lα)（8）k(α+β)=kα+kβ除此之外，向量的线性运算还有下述性质：（1）若kα=θ,则k=0或α=θ（2）向量方程α+x=β有唯一解x=β-α二向量的线性相关性是向量组的一个线性组合.此时，也称向量β可由向量组线性表出.定义2.1.4
5、设是m个n元向量，k1,k2,…，km是任意m个数，称下列向量例2.1.3已知向量组问能否由线性表出？解设则由此得（存在使（1）成立它们使（2）成立。即可由线性表出线性方程组（2）有解。）经验证，（2）有解，故可由线性表出。0,,,,,,,:22112121=+++mmmmkkkkkkAaaaaaaLLL使全为零的数如果存在不给定向量组2.1.5定义注则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量.,.5量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两
6、向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量aaaaa=例2.1.4在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关.例设与是两个2元实向量，则线性相关与共线。例设与是两个2元实向量，则线性相关与对应分量成比例。例一个向量线性相关。例判断向量组是否线性相关。解设则有（存在不全为零的使（1）成立它们也使（2）成立，即线性相关齐次线性方程组（2）有非零解。）经验证，方程组（2）有非零解，故线性相关。线性无关：
7、（1）不存在不全为零的数，使（2）对任意不全为零的数，均有（3）由必可导出①线性相关齐次线性方程组有非零解；②线性无关齐次线性方程组没有非零解。结论例指出向量组的线性相关性。解令则因方程的个数<未知数的个数，故上述齐次线性方程组有非零解。于是，线性相关.例2.1.7m个n元向量（m>n）线性相关。证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有定理2.1.1向量组线性相关的充分必要条件是：至少存在一个可由其余向量线性表出。故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数 使即能由其余
8、向量线性表示.不妨设 则有例设是n个n元向量，称之为n元基本向量组，则线性无关，且对任一n元向量，有线性相关，且可由线性表出。定理已知向量组线性无关，线性相关，而向量组可由线性表出且表示法唯一。则例2.1.11讨论下列向量之间的关系：(2)与（1） 与.能由向量组.,,,:,,,:2121这两个
