北理工高等代数课件x1-3.ppt

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1、定理1.3.1矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。定义1.3.1矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或性质1.3.1(1)秩（A）=0当且仅当A=0(2)秩()min{m,n}(3)初等行变换不改变矩阵的秩。§1.3矩阵的秩与矩阵的初等变换一、矩阵的秩例1．3．2求下述矩阵的秩A=解所以秩为3。定义1.3.2设A是n阶方阵。若秩(A)=n，则称A是满秩方阵；若秩（A）

2、3)把某一行所有元素的k倍加到另一列对应元素上去.(1)对调两列.(2)以数乘以一列的所有元素称对矩阵A的下述变换为初等列变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换例如定义1.3.3设A和B是两个同型矩阵。若A可通过有限次初等变换化为B，则称A相抵于B，记为AB。性质1.3.2矩阵的相抵满足：(1)自反性：(2)对称性：(3)传递性：一种关系如果同时具有自反性,对称性和传递性,则称其是等价关系.定理1.3.3设A是m×n矩阵，且秩(A)=r，则A相抵于下述矩阵称之为

3、A的相抵标准型。r行（A的相抵标准形式唯一的）例把1.3.2例中的矩阵用初等变换化为相抵标准型A==B则B即为A的相抵标准形定义1.3.4由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.三、初等矩阵定理1.3.4设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵例已知矩阵问A与B、C、D之间有何联系？解因为与之相对应故同理可得因为而故例1.3.4已知矩阵问P与Q如何与A相乘可得到B?解因

4、为对A作两次初等行变换可得B，而P与Q均为初等矩阵，所以应有PQA=B或QPA=B。又对应P，对应Q性质1.3.3（1）初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵；(2)任一初等矩阵P，均存在初等矩阵Q，使PQ=QP=I。定理1.3.5满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。证即定理1.3.7同型矩阵A与B相抵的充分必要条件是秩(A)=秩(B)。推论矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。推论满秩方阵的乘积也是满秩方阵。定理1.3.6设A与B是两个m×n矩阵，则A相抵于B的充分必要条件是：存在m阶满秩矩阵P与n阶满秩矩阵Q，使PAQ=B。定

5、理1.3.8（1）秩(A)=秩（2）A是m×n矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n阶满秩方阵，则秩(A)=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ）例1.3.5设A是4×5矩阵且秩（A)=3,求秩（BA).例1．3．6对任一满秩方阵P，均存在同阶的满秩方阵Q，使PQ=QP=I。证：设P是n阶满秩方阵，则由定理1.3.5可知，存在若干个n阶初等矩阵使得又有性质1.3.3（2）可知，存在s个n阶初等矩阵令则，PQ=QP=I.据性质1.3.3,Q也是n阶满秩方阵例1．3．7设A是n阶非零方阵。则A是降秩矩阵的充分必要条件是：存在n阶非零方阵B，使AB=

6、0。