北理工高等代数课件§b.6续(§3.4)

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1、§3.4最小二乘法例已知自由落体的运动方程为（1）估算重力加速度g的值。设计试验：选一物体W，相对于某一参考点和时间起点，测量W在一些特定时刻的下落距离。假设通过实验得到下列数据分析：点应满足方程（1），即（2）求g，相当于解以为未知数的线性方程组（2）。经验算，方程组（2）无解。主要问题：不相容线性方程组的讨论一、向量的距离定义设V是欧氏空间，，则到的距离规定为性质设是欧氏空间V中任意三个向量，则（1）（2），等号成立当且仅当（3）定义设V是欧氏空间，W是V的子空间。对，若与W中每个向量都正交，则称向量与子空间W正交，记为。定理设V是欧氏空间，W是V的子空间。任取，若存在满

2、足，则对任一均有证明任取，则。∵∴于是，即▌二、不相容线性方程组的最小二乘解考虑不相容线性方程组设其为若实数，使①最小，则称是不相容方程组的最小二乘解。考虑欧氏空间，则。①式可表为②其中。则W是的子空间，且求使②最小，即是求使最小，亦即求b到W的最短距离。由前面定理，只须求，使，即对，均有令故应为线性方程组③的解。定理设是不相容线性方程组，则下列线性方程组的解就是原方程组的最小二乘解。称③为正规方程。例任取，则线性方程组一定有解。例物理学中的Huke定律指出，在弹性范围内，一个匀质弹簧的长度x是作用力y的线性函数，可设之为y=y0+kx其中k称为该弹簧的弹性系数。现有一匀质弹簧，

3、经实验得到下列数据确定此弹簧的弹性系数k。解把数据代入，得记则上述方程组可表为它是不相容的。考虑其正规方程③因可逆，故③的解为由是的最小二乘解，可得于是，此弹簧的受力方程为定理设是不相容线性方程组，这里。若秩(A)=n，则此方程组有唯一的最小二乘解。小结1.线性空间的基、维数、坐标求过渡矩阵，求坐标（三个具体的空间）2.生成子空间求解空间的基、维数3.标准正交向量组Schmidt正交化方法，正交矩阵