北理工高等代数课件b

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1、§B.6欧氏空间一、内积与度量定义设V是实数域R上的一个线性空间。如果对V中任意两个向量，均有一个确定的、记作的实数与之对应，并且下列条件被满足：（4），当且仅当时，。这里是V的任意向量，k是任意实数，则称实数为向量与的内积，而这样的线性空间称为Euclid空间，简称欧氏空间。例对实向量空间Rn，任取规定与的内积为则Rn是欧氏空间。例设V是定义在闭区间[a,b]上的所有连续函数构成的函数空间。对于V中任意二个函数，规定其内积为则V便是一个欧氏空间。在欧氏空间Rn和C[a,b]中，按上两例中的方法定义的内积都称为标准内积。一般情

2、况下，欧氏空间Rn和C[a,b]中的内积都是指标准内积。例在全体n阶实方阵所构成的线性空间中，对任意两个n阶矩阵A、B，规定其内积为容易验证它满足定义的四个条件，因此对于所定义的内积构成一个欧氏空间。定义设V是欧氏空间，任取，则的长度规定为注(1)(2)为单位向量(3)是单位向量（称上述过程为对单位化）例在欧氏空间Rn中，对，定理设V是欧氏空间，则对任意均有上式称为Cauchy-Schwarz不等式。证明(1)，结论成立；(2)，对任意实数x，均有即因的系数大于零，故即于是▌定义设V是欧氏空间，，且均不是零向量，则与的夹角规

3、定为这里。例在欧氏空间R2中，取因，故定义若，则称向量与向量正交，记为。例设，则对任意与任意，均有。定理设V是欧氏空间，与是V中任意两个向量，则有（1）三角不等式：（2）勾股定理：若，则二、度量矩阵的性质显然有。设是n维欧氏空间V的一个基，是V中的任意两个向量。下面考察它们的内积：如果令，则由内积于是利用矩阵的乘法，上式还可以表示为其中分别是关于基的坐标，称A为基的度量矩阵。显然A是对称矩阵。三、标准正交基定义设V是欧氏空间，是V中m个非零向量。若两两正交，则称是正交向量组。由单位向量构成的正交向量组称为标准正交向量组。例在欧

4、氏空间中，自然基是标准正交向量组。例在欧氏空间中，一个单位向量本身也是标准正交向量组。定理设为n维欧氏空间V的一个标准正交基，则定义设V是欧氏空间，则V中由正交向量组构成的基称为正交基，V中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基。例在欧氏空间中，标准正交基的度量矩阵是I。证因为即的过渡矩阵是单位矩阵I，所以▌定理在标准正交基下，任一向量均可以表示成并且同样有。作向量与向量的内积，有证明设向量在基下的坐标为，即。▌定理设是欧氏空间V的一个正交向量组，则线性无关。证明设是正交向量组，令两边同时与做内积，得因两两正交，故于是又，故，

5、由此得。同理可证。所以线性无关。▌把两个线性无关的向量化为两个标准正交的向量：因要求，故设线性无关，令则又，故。从上式解得已知线性无关，故。于是是正交向量组。令，则是标准正交向量组。此外，定理设V是欧氏空间，是V中m个线性无关的向量，则V中存在m个标准正交的向量，并且,Schmidt正交化方法：已知线性无关1.正交化：2.单位化：例已知中的，求三个标准正交的向量。解1.正交化2.单位化则即为所求的一个标准正交向量组。▌定理有限维欧氏空间必有标准正交基。例已知欧氏空间中的两个标准正交向量把扩充为的标准正交基。解1．把扩充为的一个

6、基：取向量，易证线性无关，因此它们是的一个基。2．把化为的一个正交基：则两两正交，且都不是零向量，因此它们是的一个正交基。令3．把化为的一个标准正交基：令则即为的一个标准正交基。▌四、正交矩阵定义设，若，则称A是正交矩阵。显然，正交矩阵A满足。设是正交矩阵，其列向量组为由得所以又（欧氏空间），且（与的内积）故有即是中的标准正交向量组。定理设，则A是正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组是标准正交的。例设，其中。证明：B是正交矩阵。证明∵B的列向量组标准正交∴B是正交矩阵。（另法）∵∴又，而故。所以于是，B是正交矩阵。例设，

7、证明：若A可逆，则A可表示为其中Q是n阶正交矩阵，R是n阶可逆上三角阵。上式称为实方阵A的正交分解。▌最后讨论从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵。设与是欧氏空间V中的两个标准正交基，它们之间的过渡矩阵是，即因为是标准正交基，所以矩阵A的各列就是关于标准正交基的坐标，即对向量与作内积，由前面定理及式(1)可知（1）式(2)实际上就表示了如下矩阵等式即显然A为正交矩阵。（2）