线段最短问题专题复习.doc

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1、最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。（2）应用函数的性质①二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有①若当时，y有最小值。；②若当时，y有最大值。。②一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来

2、的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．在求最短路线时，一般我们先用“对称、平移、旋转”的方法化

3、成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．一、点关于一条直线的对称问题问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如图所示）知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。轴对

4、称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是：过M作MO垂直于PQ于点O，并延长MO到点N，使NO=MO，则点N就是点M关于直线PQ的对称点。问题分析：过A作AO垂直于直线L于点O，延长AO到点A’，使A’O=AO，连接A’B，交直线L于点C，则小明沿着ACB的路径就可以满足小狗喝上水，同时又使回家的路程最短。问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）提示：作PC平行于AB，且PC==AB，则问题

5、变为：在直线L上找一个点B，使它到P、C两点的距离之和最短。问题的延伸2：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？提示：分别作点P关于直线L1和直线L2的对称点P1和P2，连接P1P2分别与两直线交于B、C点，则PB+BC+PC最短。证明方法同上。1、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2、如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO

6、=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等于．4．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为()A．1B．C．D．5．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是()A．B．C．D．6、如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，

7、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定7、如图（7）所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是A.（，0）B.（1,0）C.（，0）D.（，0）8、如图，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的

8、距离之和最小．PMMMMQllllPQPQPQPQABCD11111安装0、(第20题图)l9、如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别