一道几何概型试题的探究1(1).doc

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1、一道几何概型试题的探究兰州西北中学730050问题：在等腰直角△ABC中，∠C=90°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使

2、AM

3、＞

4、AC

5、的概率.解法一：设事件D“作射线CM，使

6、AM

7、<

8、AC

9、”.在AB上取点M使

10、AM

11、=

12、AC

13、，因为△ACM是等腰三角形，所以∠ACM=67.5°,=90-67.5=22.5，=90，所以，P（D）==.MBCA解法二：设事件D“作射线CM，使

14、AM

15、＞

16、AC

17、”.在AB上取点M使

18、AM

19、=

20、AC

21、，因为△ACM是等腰三角形，所以

22、AM

23、=,=

24、AM

25、=，=

26、AB

27、，所以

28、，P（D）==.两种解法哪种正确？为什么？如果我们把问题中的等腰直角三角形改为∠C=90°的扇形，过顶点C作射线CM交于M，求使

29、AM

30、＞

31、AC

32、的概率.如果我们把问题中的等腰直角三角形改为∠C=90°的扇形，过顶点C作射线CM交于M，求使的长大于

33、AC

34、的概率.用以上两种解法去解，不难得出答案是一样的！这是为什么呢？如果射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,M在3上的运动也是匀速的，如果把射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件，是等可能事件，如果把点M在线段AB上的每一个位置作为一个基本事件，

35、这些基本事件也是等可能事件，所以，两种解法答案是一样的。如果我们把问题中的“等腰直角三角形”改为“∠A=60°，∠C=90°的直角三角形”，MBCA我们把AB的中点记作M0，，∠ACM0=600,∠M0CB=300,如果射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,M在AB上的运动就不是匀速的，可以理解为线段AM0上的点比线段M0B上的点稠密，此时，用长度比来刻画

36、AM

37、＞

38、AC

39、的概率，显然就错了，因为把M在AB上的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件不是等可能基本事件。应该把射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本

40、事件，这些基本事件就是等可能事件了，显然，P=。如果M是从A点起匀速运动到达B点，射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件，就不是等可能事件了，这个问题也就不能看作几何概型了，自然就不能用几何概型的方法去解决。应该把点M在线段AB上的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件就是等可能事件了，这个问题也就是几何概型了。。所以，前面提出的问题，理解表述是很关键的，“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”，应理解为射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,

41、AM

42、＞

43、AC

44、的概率应该以角作为测度。同理如果把

45、“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”改为“M在线段AB上”，就应该理解为M从A点起匀速运动到达B点，

46、AM

47、＞

48、AC

49、的概率应该以长度作为测度。又例如：O是正方形ABCD的中心，Q是CB的中点。（1）以O为端点作射线OP，交正方形的边于P.求使得∠AOP和∠QOP都不小于的300概率.(2)在折线ABQ上任取一点P，求使得∠AOP和∠QOP都不小于的300概率.分析：（1）只能以角度作为测度。3（2）可以用长度和面积为测度，但不能以角度作为测度。如果把问题改为：在圆心角为1350的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，

50、求使得∠AOC和∠BOC都不小于的300概率.此题弧长，角度，面积都可以作为测度.由此看来，解决几何概型的问题时，关键是认真理解题目的表述，提炼出基本事件，看把什么事件作为基本事件，基本事件才是等可能的，问题才是几何概型。3