《几何概型》课件1

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1、3.3.1几何概型引例取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?事件A包含的基本事件有多少?问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?（1）（2）事实上,甲获胜的概率与黄色所在扇形区域的圆弧长度有关,而与黄色所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.因此：把转盘的圆周的长度设为1，则以转盘（1）为游戏工具时以转盘（2）为游戏工具时上述问题

2、中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在，但显然不能用古典概型的方法求解，怎么办呢？对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到是等可能的；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是长度，面积，体积等.用这种方法处理随机试验，称为几何概率模型.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)

3、有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率.我们可以通过随机模拟的方法得到随机事件发生的概率的近似值，也可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时

4、间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.练习1：公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站，求汽车在1~3分钟之间到达的概率.分析：将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1~3分钟是这一线段中的2个单位长度.解：设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A，则所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率为对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.练习2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的

5、概率有多大?解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3.3m1m1m例2:在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D.当点M位于图中的线段AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d.解：在AB上截取AC’=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）则AM小于AC的概率为思考题以上各题是与长度有关的几何概型，那么有

6、关面积、体积等区域的概率也适合用几何概型求之吗？例3：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形.求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率30m2mA20mTOyxA练习：平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

7、基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:练习3：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？BCDE.o解：记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点

8、在劣弧CD上时，

9、BE

10、>

11、BC

12、，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为