3.3.1几何概型(1)

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1、3.3.1几何概型牛长秀著名的随机试验蒲丰投针试验法国自然哲学家蒲丰曾经做过一个投针试验．他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线，他将小针随意地投在纸上，他一共投了2212次，结果与平行直线相交的共有704根．总数2212与相交数704的比值为3.142．这一比值接近π.一次又一次地将细针任意投掷在白纸上，这样反复投掷n次，数数细针与平行线相交的次数为k，于是得到π的近似值为：实验者年代投掷次数相交次数圆周率估计值沃尔夫1850500025313.1596史密斯1855320412193.1554德摩根168

2、06003833.137福克斯188410304893.1595拉泽里尼1901340818083.1415929赖纳192525208593.1795后来有许多人步布丰的后尘，用同样的方法计算π值．其中最为神奇的是意大利数学家拉泽里尼(Lazzerini)．他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了的值为3.1415929．这与π的精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同！用如此巧妙的方法，求得如此高精确的值，这真是天工造物！蒲丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问

3、题，为概率论的发展起到一定的推动作用。蒲丰（法）在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8:00~9:00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上……这些试验可能出现的结果都是无限多个.怎样求其概率？阅读教材P135-136，回答问题：什么是几何概率模型？有何特征？1、几何概率模型的识别如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模

4、型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型的基本特征：（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.2、几何概型的概率在几何概型中，事件A的概率计算公式如下：例1.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.打开收音机的时刻位于时间段内则事件A发生.即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为解：记“等待的时间不多于10分钟”为事件A，[50，60]由几何概型的求概率公式得在本例中，打开收音机的时刻X是随机的，可以是0~60之间的任何一刻，并且是等可

5、能的.我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数.解:如图设送报人到达时间为x,父亲离家时间为y.(x,y)可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成的区域为：这是一个正方形区域，面积为事件A表示父亲在离家前能得到报纸，所构成的区域为：例2.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?即图中阴影部分，面积为归纳：对于复杂的实际问题,解题的关键是要建

6、立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.例3.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率由此可得如果向正方形内撒颗豆子，其中落在圆内的豆子数为，那么当很大时，比值，即频率应接近于，于是有例4.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时，事件A发生，于

7、是例5.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现,这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉．则事件A发生就是在０--２／３min时间段内按错键．故P(A)=2330=145例6.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规

8、定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？解：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄