三角形的五心整理.doc

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1、中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。过E作EH平行BF。AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh

2、1=1/3Ah则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^

3、2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2

4、+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。6。在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。7.设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）8.相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。证明方法：∵D为BC中点，∴BD=CD,又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，即S△AOF+S△BOF+S△BOD

5、=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.同理，∵E为AC中点，∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,即S△BOF=S△AOF。∴BF=AF，∴CF为AB边上的中线，即三角形的三条中线相交于一点。重心顺口溜三条中线必相交，交点命名为“重心”重心分割中线段，线段之比听分晓；长短之比二比一。二、三角形的外心定义三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形外接圆的圆心也就是三角形三

6、边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上三条中垂线共点证明.∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线∴AF=BF=CF∴BC中垂线必过点F三角形外心的性质设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外.性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).性质3：∠GAC+∠B=90°证明：如图所示延长AG与圆交与P∵A、C、B、P四点共圆∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°性质4：点G是

7、平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点