三角形的五心.doc

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1、三角形的五心：三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。垂心定理三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。内心定理三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。旁心定理三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心

2、扫三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力。一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC底边BC上

3、一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC，∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.由于P′P平分∠BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△C

4、SQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K=(∠O2O1S+∠SO1K)=(∠O2O1S+∠PO1O2)=

5、∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′.有S△P

6、GE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.(1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC为正三角形，易证△∽△′.不妨设a≥b≥c，有CF=，BE=，AD=.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.∴CF:BE:AD=::=a:b:c.故有△∽△′.(2)△

7、∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD.　　　∵△∽△′，　　　∴＝()2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(199