三角形五心的研究文献.doc

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1、三角形五心的研究文献三角形的五心旋轉一•研究動機：有一次，我們隨意翻閱三年級的課本第五冊第三章，裡血剛好有提到三角形的重心、內心、外心。於是好奇的我們便去請教数學老師：三角形只有三個心嗎？老師告訴我們並不是，其實是有五個心,分別是重心、內心、外心、垂心和傍心。然後我們便嘗試以三角形的五心為圜心旋轉，觀察其所康生的圜形。二研究日的：探究以下的幾種旋轉情形：L正三角形的四心旋轉。（重心、內心、外心、傍心）2.等腰三角形（三角皆銳角）的四心旋轉。3.等腰三角形（一角是鈍角）的四心旋轉。4.直角三角形的四心旋轉。5.等腰直角三角形的四心旋轉。6.

2、正三角形的傍心旋轉。7.等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉。&等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉。9.直角三角形的傍心旋轉。10.等腰百角三加形的傍心旋轉。1三•實驗器材：量角器、直尺、圓規、計算機、厚紙板、奇異筆。四•實驗步驟：1・裁減一個正三角形,畫出重心，轉出其圜。2.裁減一個等腰三角形（三角皆銳角）,畫岀重心，轉出其I員I。3.裁減一個等腰三角形（一角是鈍角），畫岀重心，轉出其I員I。4.裁減一個肓角三角形，畫出重心，轉出其I員I。5.裁減一個等腰直角三角形，畫出重心，轉岀其慣I。6.如以上1.2.3.4.步驟分別裁減正三角形、等

3、腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）、直角三角形和等腰直角三角形，畫出內心，轉出其WL7.也是裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）、直角三角形和等腰直角三角形，畫出外心,轉出其圓。8.裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）、直角三角形和等腰直角三角，畫出垂心，轉出其圓。9.因正三角形三邊等長，所以繪出一•個傍心即可。轉出其圓。10.而等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）和等腰直角三角形倆邊等長，所以畫二個傍心。轉出其圓。11.但玄角三角形三邊皆不同，所以畫三個傍心。轉岀其圓。212.最後互相比較正三角形的五心旋轉、

4、等腰三旳形（三角皆銳角、一角是鈍角）的五心旋轉、玄角三角形及等腰直角三角的五心旋轉，並把其結果記錄下來。五.實驗結果與討論：1.正三角形的五心旋轉：正三角形的重心旋轉正三角形的內心旋轉正三角形的外心旋轉正三角形的垂心旋轉3正三角形的傍心旋轉1.等腰三角形（三角皆銳角）的五心旋轉：等腰三角形（三角皆銳角）的重心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的內心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的外心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的垂心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉【1】等腥三用形（三角皆銳角）的傍心旋轉【2】3•等腰三角形（_角是鈍角）的五心旋轉:等腰三角

5、形（一•角是鈍角）的重心旋轉等腰三角形（一•角是鈍角）的內心旋轉等腰三角形（一角是鈍角）的外心旋轉6等腰三角形（一・角是鈍角）的垂心旋轉8等腰三角形（一-角是鈍角）的傍心旋轉【1】等腰三角形（—•角是鈍角）的傍心旋轉【2】4.山角二角形的征心旋轉玄角二饬形的重心旋轉玄饬二饬形的內心旋轉肓角二角形的外心旋轉肓角三饬形的匝心旋轉玄角三饬形的傍心旋轉【1】玄角三角形的傍心旋轉【2】105.等腰宜角三角形的五心旋轉：等腰玄角三角形的重心旋轉等腰直角戸角形的內心旋轉11等腰直角三角形的外心旋轉等腰直角三角形的垂心旋轉等腰直角三角形的傍心旋轉【1】等

6、腰直角三角形的傍心旋轉【2】121•正三角形的五心旋轉:因為重心、外心、內心、垂心都在同一點上，它們的圓心也在同一點上，轉出來的慣I也一樣人。傍心的半徑就是三角形的高。2•直角三角形的五心旋轉:轉出來的圓,外心的圓〉垂心的圓〉內心的圓〉重心的圓,因為直角三角形有三個不同長的邊所以有三個不同位置的傍心，底邊越短轉出來的圏越3•等腰三角形的五心旋轉（銳角）：重心、外心、內心、垂心旋轉的圓心都在重心的位置，所以轉出來慣I都-•樣人。因為兩邊相同所以只畫兩個傍心即可，底邊越短轉出來的圓越小。4.等腰三角形的五心旋轉（鈍角）：轉出來的圜，垂心的圓＞

7、外心的慣1＞重心的I員1＞內心的慣

8、。傍心在下方的I員1＞傍心在旁邊的圓。5.等腰直角三角形的〕沁旋輙垂心的慣1＞外心的圓〉重心的I員1＞內心的圓＞傍心的圓，重心的慣I不是以重心為準，所有的慣I只屬內心是完整在裡面。傍心底邊越短轉岀來的圓越小。六•結論：我們要證明三角形所轉岀的I員I，具慣I心到達三邊的距離是最短或相等的。『1」正三角形1・重心、內心、夕卜心、垂心13轉出的三角形洽為AABC的內切I員I,所以圓心至三邊的距離rl=r2=r3B2.傍心因為Z1=Z2,Z0EB=Z0DB=90°,BO=BO所以ABEO=ABDO（AAS）故r

9、l=EO=DO=r2同理可BSr2=r3所以rl=r2=r3『2」等腰三角形（銳角）1.重心、內心、夕卜心、垂心經由操作實驗得知，如圖由此三角形的重心、內心、外心、垂心所轉岀來的圓,皆為三角形