三角形五心整理

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1、中英文学校自主招生平面几何讲义(三角形的五心)一、三角形的重心1、重心的性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。证明一三角形ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。过E作EH平行BF。AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明二证明方法:在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1

2、,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知Oh1=1/3Ah则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC);同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形)证明方法:设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为(x,y)则该点到三顶点距离平方和为:(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)

3、^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1

4、/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(z1+z2+z3)/35、三角形内到三边距离之积最大的点。6。在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量),则M点为△ABC的重心,反之也成立。7.设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC

5、)8.相同高三角形面积比为底的比,相同底三角形面积比为高的比。证明方法:∵D为BC中点,∴BD=CD,又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.同理,∵E为AC中点,∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF

6、/S△AOE+S△COE,即S△BOF=S△AOF。∴BF=AF,∴CF为AB边上的中线,即三角形的三条中线相交于一点。重心顺口溜三条中线必相交,交点命名为“重心”重心分割中线段,线段之比听分晓;长短之比二比一。二、三角形的外心定义三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上三条中垂线共点证明.∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线∴AF=BF=CF∴BC中垂线必过点F三角形外心的性质设⊿ABC的外接圆为☉G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+

7、b+c)/2.性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;(3)钝角三角形的外心在三角形外.性质2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180°-∠A).性质3:∠GAC+∠B=90°证明:如图所示延长AG与圆交与P∵A、C、B、P四点共圆∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°性质4:点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是:(1)向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+t

8、anB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性质5:三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点

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