2013高考数学复习 9-8 用向量方法证明求角与距离专题训练 理.doc

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1、2013高考数学复习9-8用向量方法证明求角与距离专题训练理1.在空间直角坐标O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1[答案]　B[解析]　由条件知，O在平面OAB内，∵＝(－1,3,2)，∴点P到平面OAB的距离d＝＝＝2.2．(2011·福州模拟)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)A.，－，4B.，－，4C.，2,4D．4，，

2、－15[答案]　B[解析]　∵⊥，∴·＝3＋5－2z＝0，∴z＝4，∵⊥平面ABC，∴⊥，⊥，∴，∴，故选B.3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为(　　)A.B.C.D.[答案]　B-12-用心爱心专心[分析]　求直线与平面的距离，应有直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量，即可通过向量的数量积来求．一般地，平面α的法向量为n，平面内一点P和平面外一点Q，则Q到α的距离d＝.[解析]　如上图建立空间直角坐标系，则B(2,2,0)

3、，G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－1)，＝(0,0,2)．设平面GB1D1的法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，∴2x＋2y＝0,2x－z＝0，即y＝－x，z＝2x.令x＝1，则n＝(1，－1,2)．∵BD∥B1D1，∴BD∥平面GB1D1.∴BD与平面GB1D1的距离为d＝＝.故选B.4．(2011·广东省江门模拟)如下图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.当A1、E、F、C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所

4、成二面角的余弦值为(　　)-12-用心爱心专心A.B.C.D.[答案]　B[解析]　以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)，同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝.5．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成

5、角的余弦值是(　　)A．－B．－C.D.[答案]　D[解析]　设正方形的边长为1，AC与BD交于点O，当折成120°的二面角时，AC＝2＋2－2···cos120°＝.又＝＋＋，∴

6、

7、2＝

8、

9、2＋

10、

11、2＋

12、

13、2＋2·＋2·＋2·＝1＋2＋1＋2×1×cos135°＋2××1×cos135°＋2·＝2·＝2

14、

15、·

16、

17、cos〈，〉＝2cos〈，〉．∴cos〈，〉＝.6．(2010·广西南宁二中模考)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为(　　)A.B.C.D.[答案]　C-12-用心爱心专心[解析

18、]　解法一：取BC的中点D，在正三角形ABC中，AD⊥BC，在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角，设AB＝AA1＝1，则AD＝，AC1＝，∴sin∠AC1D＝＝，故选C.解法二：以线段BC的中点D为原点，直线BC、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图．设AB＝1，则A(0，，0)，C1(，0,1)，设AC1与平面BB1C1C所成角为θ，易知平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，，0)，又＝(，－，1)，∴sinθ＝

19、cos〈，〉

20、＝＝，

21、故选C.-12-用心爱心专心7．(2011·浙江丽水模拟)如下图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．[答案]　(1,1,1)[解析]　设PD＝a，则由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)，∵cos〈，〉＝，∴＝，∴a＝2，∴点E的坐标为(1,1,1)．8．(2011·咸阳模拟)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧

22、棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小为________．[答案]　30°[解析]　由条件知AC⊥BD，AC与