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《2013高考数学复习 9-8 用向量方法证明求角与距离专题训练 理.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2013高考数学复习9-8用向量方法证明求角与距离专题训练理1.在空间直角坐标O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于( )A.4 B.3 C.2 D.1[答案] B[解析] 由条件知,O在平面OAB内,∵=(-1,3,2),∴点P到平面OAB的距离d===2.2.(2011·福州模拟)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )A.,-,4B.,-,4C.,2,4D.4,,
2、-15[答案] B[解析] ∵⊥,∴·=3+5-2z=0,∴z=4,∵⊥平面ABC,∴⊥,⊥,∴,∴,故选B.3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为AA1的中点,则直线BD与平面GB1D1的距离为( )A.B.C.D.[答案] B-12-用心爱心专心[分析] 求直线与平面的距离,应有直线与平面平行,故可转化为点面距,为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量,即可通过向量的数量积来求.一般地,平面α的法向量为n,平面内一点P和平面外一点Q,则Q到α的距离d=.[解析] 如上图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0)
3、,G(2,0,1),B1(2,2,2),D1(0,0,2),=(2,2,0),=(2,0,-1),=(0,0,2).设平面GB1D1的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,∴2x+2y=0,2x-z=0,即y=-x,z=2x.令x=1,则n=(1,-1,2).∵BD∥B1D1,∴BD∥平面GB1D1.∴BD与平面GB1D1的距离为d==.故选B.4.(2011·广东省江门模拟)如下图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.当A1、E、F、C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所
4、成二面角的余弦值为( )-12-用心爱心专心A.B.C.D.[答案] B[解析] 以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0),设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1),同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.5.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成
5、角的余弦值是( )A.-B.-C.D.[答案] D[解析] 设正方形的边长为1,AC与BD交于点O,当折成120°的二面角时,AC=2+2-2···cos120°=.又=++,∴
6、
7、2=
8、
9、2+
10、
11、2+
12、
13、2+2·+2·+2·=1+2+1+2×1×cos135°+2××1×cos135°+2·=2·=2
14、
15、·
16、
17、cos〈,〉=2cos〈,〉.∴cos〈,〉=.6.(2010·广西南宁二中模考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为( )A.B.C.D.[答案] C-12-用心爱心专心[解析
18、] 解法一:取BC的中点D,在正三角形ABC中,AD⊥BC,在正三棱柱中,CC1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,∴CC1⊥AD,∴AD⊥平面BCC1B1,∴∠AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角,设AB=AA1=1,则AD=,AC1=,∴sin∠AC1D==,故选C.解法二:以线段BC的中点D为原点,直线BC、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系,如图.设AB=1,则A(0,,0),C1(,0,1),设AC1与平面BB1C1C所成角为θ,易知平面BB1C1C的一个法向量为=(0,,0),又=(,-,1),∴sinθ=
19、cos〈,〉
20、==,
21、故选C.-12-用心爱心专心7.(2011·浙江丽水模拟)如下图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.[答案] (1,1,1)[解析] 设PD=a,则由题意知A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,),∴=(0,0,a),=(-1,1,),∵cos〈,〉=,∴=,∴a=2,∴点E的坐标为(1,1,1).8.(2011·咸阳模拟)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧
22、棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角的大小为________.[答案] 30°[解析] 由条件知AC⊥BD,AC与