高中数学必修5常考题型：数列求和(复习课).doc

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1、数列求和(复习课)【知识梳理】1．公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：①＝·(－)；②若{an}为等差数列，公差为d，则＝(－)；③＝－等．3．错位相减法若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项

2、的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．4．倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．【常考题型】题型一、分组转化法求和【例1】　已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．[解]　令{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－n.即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－n.【类题通法】当

3、一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．【对点训练】1．求和：Sn＝3＋33＋333＋…＋.解：数列3,33,333，…，的通项公式an＝(10n－1)．∴Sn＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－＝×－＝(10n－1)－.题型二、错位相减法求和【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2

4、)求数列{an·bn}的前n项和Tn.[解](1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1,2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.【类题通法】如

5、果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．【对点训练】2．已知an＝，求数列{an}的前n项和Sn.解：Sn＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝－－，∴Sn＝－－＝－.题型三、裂项相消法求和【例3】　已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)设等差数列{an}的首

6、项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)∵an＝2n＋1，∴a－1＝4n(n＋1)，因此bn＝＝.故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.∴数列{bn}的前n项和Tn＝.【类题通法】裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致．【对点训练】3．在数列{an}中，an

7、＝＋＋…＋，且bn＝，求数列{bn}的前n项的和．解：an＝(1＋2＋…＋n)＝，∵bn＝，∴bn＝＝8(－)，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝8[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝8(1－)＝.【练习反馈】1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是(　　)A．1,1　　　　　B．－1，－1C．1,0D．－1,0解析：选D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.2．数列{an}