高中数学必修5常考题型：等比数列

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1、等比数列【知识梳理】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.3．等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例1】　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项

2、公式．[解]　依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝3－n.而＝＝－1＝2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．【对点训练】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列

3、{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，∴＝.∴{an}是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例2】　在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[解]　(1)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.(2)法一：因为由得q

4、＝，从而a1＝32.又an＝1，所以32×n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．【对点训练】2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,4

5、5，则第5项是(　　)A．405　　　　　　　　　B．－405C．135D．－135(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：(1)选A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.(2)根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q

6、＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.答案：(1)A　(2)2n题型三、等比中项【例3】　设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)A．2B.4C．6D．8[解析]　∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.[答案]　B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．【对点训练】3．已知1既是a2与b2的等比中项，又是

7、与的等差中项，则的值是(　　)A．1或B.1或－C．1或D．1或－解析：选D　由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，∴或因此的值为1或－.【练习反馈】1．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则公比q等于(　　)A.　　　　　　　B.C．2D．8解析：选B　∵{an}为等比数列，∴a4＋a6＝(a1＋a3)q3，∴q3＝，∴q＝.2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)A．9B.3C．－3D．－9解析：选D　a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2

8、＋6，由于a1，a3，a4成等比数列，则a＝a1a4，所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.解析：∵3an＋1－an＝0，∴＝，因此{an}是以为公比的等