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时间:2018-10-24
《高中数学必修5常考题型:等比数列》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、等比数列【知识梳理】1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).2.如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a,b的等比中项,这三个数满足关系式G=±.3.等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则通项公式为:an=a1qn-1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例1】 已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=an,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项
2、公式.[解] 依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是bn=3-n.而==-1=2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-3.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法:=q(q为常数且q≠0)或=q(q为常数且q≠0,n≥2)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法:a=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.【对点训练】1.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列
3、{an}是等比数列.证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.∴an+1=an.又∵S1=2-a1,∴a1=1≠0.又由an+1=an知an≠0,∴=.∴{an}是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例2】 在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[解] (1)因为所以由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,于是a1==,所以an=a1qn-1=2.(2)法一:因为由得q
4、=,从而a1=32.又an=1,所以32×n-1=1,即26-n=20,所以n=6.法二:因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式,an=a1·qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果.【对点训练】2.(1)若等比数列的前三项分别为5,-15,4
5、5,则第5项是( )A.405 B.-405C.135D.-135(2)已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=________.解析:(1)选A ∵a5=a1q4,而a1=5,q==-3,∴a5=405.(2)根据条件求出首项a1和公比q,再求通项公式.由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或,由a=a10=a1q9>0⇒a1>0,又数列{an}递增,所以q=2.a=a10>0⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q
6、=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.答案:(1)A (2)2n题型三、等比中项【例3】 设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )A.2B.4C.6D.8[解析] ∵an=(n+8)d,又∵a=a1·a2k,∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.[答案] B【类题通法】等比中项的应用主要有两点:①计算,与其它性质综合应用.可以简化计算、提高速度和准确度.②用来判断或证明等比数列.【对点训练】3.已知1既是a2与b2的等比中项,又是
7、与的等差中项,则的值是( )A.1或B.1或-C.1或D.1或-解析:选D 由题意得,a2b2=(ab)2=1,+=2,∴或因此的值为1或-.【练习反馈】1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则公比q等于( )A. B.C.2D.8解析:选B ∵{an}为等比数列,∴a4+a6=(a1+a3)q3,∴q3=,∴q=.2.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( )A.9B.3C.-3D.-9解析:选D a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2
8、+6,由于a1,a3,a4成等比数列,则a=a1a4,所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9.3.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数n,3an+1-an=0,则an=________.解析:∵3an+1-an=0,∴=,因此{an}是以为公比的等
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