高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题

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1、~简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值【例1】　设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值

2、范围是(　　)A.　　　　　　B.C．[－1,6]D．[解析]　约束条件所表示的平面区域如图阴影部分，直线y＝3x－z斜率为3.由图象知当直线y＝3x－z经过A(2,0)时，z取最大值6，当直线y＝3x－z经过B时，z取最小值－，··~∴z＝3x－y的取值范围为，故选A.[答案]　A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z＝2x＋y，变量x、y满足条件求z的最大值和最

3、小值．[解]　作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．解方程组得A点坐标为(5,2)，解方程组得B点坐标为(1,1)，∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.题型二、求非线性目标函数的最值【例2】　设x，y满足条件(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；(2)求v＝的最大值与最小值．[解]　画出满足条件的

4、可行域如图所示，(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2··~的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0.(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以v最大值＝＝，v最小值＝＝－4.【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数

5、的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x，y满足约束条件则的最大值是________，最小值是________．[解析]　由约束条件作出可行

6、域(如图所示)，目标函数z＝表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C与O连线斜率最大；B与O连线斜率最小，又B点坐标为(，)，C点坐标为(1,6)，所以kOB＝，kOC＝6.故的最大值为6，最小值为.[答案]　6　··~题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】　若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是________．[解析]　如右图，由得代入x－2y＝2中，解得a＝2.[答案]　2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标

7、函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝(　　)A．2B．9C．3D．0[解析]　选D　由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】　某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分

8、别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解]　设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式