高中数学必修5常考题型：等比数列.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯等比数列【知识梳理】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.n－13．等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1q.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明1

2、【例1】已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}2是等比数列，并求其通项公式．[解]依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，13－n于是bn＝.213－nbn21－1而＝＝＝2.bn－114－n22n－3∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法an＋1an(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)?{an}为等比数列．anan－12*(2)等比中项法：an＋1＝an·an＋2(an≠0，

3、n∈N)?{an}为等比数列．n－1*(3)通项公式法：an＝a1q(其中a1，q为非零常数，n∈N)?{an}为等比数列．【对点训练】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.1∴an＋1＝an.21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.1又由an＋1＝an知an≠

4、0，2an＋11∴＝.an2∴{an}是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例2】在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.33a4＝a1q，a1q＝2，①[解](1)因为6所以6a7＝a1q，a1q＝8，②②333由得q＝4，从而q＝4，而a1q＝2，①21n－12n－5于是a1＝3＝，所以an＝a1q＝2.q234a2＋a5＝a1q＋a1q＝18，③(2)法一：因为25a3＋a6＝a1q＋a1q＝9，④④1由得q＝，从而a1＝32.③21n－

5、1又an＝1，所以32×＝1，26－n0即2＝2，所以n＝6.1法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.24由a1q＋a1q＝18，得a1＝32.n－1由an＝a1q＝1，得n＝6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的n－1思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·q(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果．【对点训练】2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料

6、推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是()A．405B．－405C．135D．－1352(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a5＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.4a2解析：(1)选A∵a5＝a1q，而a1＝5，q＝＝－3，a1∴a5＝405.2(2)根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q－5q＋2＝0129?q＝2或，由a5＝a10＝a1q>0

7、?a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.22429na5＝a10>0?(a1q)＝a1q?a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2.n答案：(1)A(2)2题型三、等比中项【例3】设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B.4C．6D．82[解析]∵an＝(n＋8)d，又∵ak＝a1·a2k，2∴[(k＋8)d]＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.[答案]B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用．可以简化

8、计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．【对点训练】2211a＋b3．已知1既是a与b的等比中项，又是与的等差中项，则22的值是()aba＋b11A．1或B.1或－2211C．1或D．1或－333⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22211解析：选D由题意得，ab＝(ab)