常考常新的数列求和问题.doc

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1、常考常新的数列求和问题524500广东省吴川市第一中学柯厚宝数列求和问题是历年高考的重点和热点之,也常是高考的“压轴”之作.解决这类问题已有一套较为成熟的常规方法,但如何才能从常规中考出新意?是每年命题专家要思考的问题,而我们的问题是,如何抓住命题者的出新思路,寻求更对应有效的解决方法?本文试探之.一、一般数列,设计出新,归纳对之例1(2009江西)数列的通项,其前项和为,则为()A．470B．490C．495D．510分析:可得,依次取值周期为3,重组合并得解.解:由于,依次取值以3为周期,故==,故选A.点评:本题以归纳为入口

2、,用(其他项同理)拆项、再重组运用公式求和,其中隐含的“归纳法”、“拆项求和法”和“公式法”,是常用的求和方法.跟踪练习(2009重庆改编):设,,,,数列的前项和为,则=．(答案:)二、基本数列,思路出新,整体决之例2(2009宁夏)等差数列前项和为.已知+－=0,=38,则m=_______分析:由,求出即可得.解:由得,而,∴或(舍去),于是,∴.8点评:由基本数列(等差数列与等比数列)的性质结合整体运算,回避了繁杂的“基本量”思路整体的解决了问题.平时多总结一些“中间”解题结论,可以有效提高解题效率.跟踪练习(2009辽宁

3、)设等比数列的前项和为,若=3,则=(答案:)三、综合问题,包装出新,拆装为本例3(2009辽宁)等比数列{}的前项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上.w(1)求的值;(2)当b=2时,记求数列的前项和.分析:由“点在曲线上”,建立与的关系,再由“与法”求,也合适得;接着求,用“错位相减法”可求得.解:(1)∵点在函数的图像上.∴,当时,;当时,,因为{}为等比数列,所以,公比为,所以;(2)当b=2时,,,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m相减,得=所以.点评:本题经拆装后,问题回归到我们熟悉的数列问题,用

4、上常用的“错位相减法”即可求其和.8跟踪练习:已知为二次函数,不等式的解集为,且对任意,,恒有,.数列满足,.设.(1)求数列的通项公式;(2)若数列的前项和为,求数列的前n项和.(答案:(1);.提示:由题意得,令,出现,确定的值,从关于的方程变形得关于的方程,可得,进而得与)专题小训练一、选择题1.若数列满足,则数列为“调和数列”,已知数列为“调和数列”,且,则的最大值是()A.10B.100C.200D.4002.设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则的值为()A.B.2C.D.3.已知数列的通项公式为,设其前n项和

5、为Sn,则使Sn<－5成立的自然数n有()A.最小值63B.最大值63C.最小值31D.最大值314.在等差数列中,设为其前项和,已知,则等于()A.B.C.D.85.已知数列的前项和,是等比数列的充要条件是()A.B.C.D.6.设等差数列的前项和为,已知,+则下列结论中正确的是()A.B.C.D.二、填空题7.等差数列的前项和为,且则8.已知在等差数列中,若,则n的最小值为.9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an),Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的斜率为.10.对于

6、集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6,集合{5}的交替和为5.当集合N中的n=2时,集合N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和=1+2+(2–1)=4,则当时,=______________;根据、、,猜想集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和=.三、解答题11.设等差数列的前n项和为,且(c是常数,

7、N*),.(1)求c的值及的通项公式;(2)证明:.12.已知数列中,,令.(1)证明:数列是等比数列;(2)设数列的前项的和为,求使成立的正整数的最小值.813.已知且,数列的前项的和,数列满足,.(1)求证:数列是等比数列;(2)若对于区间上的任意实数,总存在不小于2的自然数,当时,恒成立,求的最小值.14.在平面上有一系列的点,对于正整数,点位于函数的图像上,以点为圆心的与轴相切,且与又彼此外切,若,且(1)则数列的通项公式;(2)设的面积为,比较与的大小.参考答案1.B∵为“调和数列”,∴,即为等差数列,有,∴,得.2.D

8、由题意,得,即,故,即.3.A,8由,得,∴.4.C可得,∴.5.D是等比数列,得,,公比,由,∴.反之也成立.6.A的单调性,易得它在R上为单调递增函数,且为奇函数.由条件知,,有,从而;∴.又,在R上单调递增,∴,得.故选A.7.,∵,得.8.