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《高考数学常考问题—数列求和问题—解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列求和问题一解题策略数列是高屮代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基木内容0—，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。1、公式法求和若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可釆用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法乞一。常用求和公式列举如下：等差数列求和公式:恥_1)〃~2~等比数列求和
2、公式:2X]X自然数的方幕和：Sk3=l3+23+33+•••+n3=-n2(n+1)2,Zk=1+2+3+•••+n=-n(n+l),i4i2ji]Sk2=12+22+32+••-+n2=一n(n+1)(2n+1)JU16例］已知数列，其中①==32务=」（"22）,记数列的前“项和为数列的前”项和为S,求乞。解：由题意，｛°」是首项为1,公差为2的等差数列$1+1+2"-】)前力项和31Sx=n2=2nUx=2(lnl+ln2+••+ln?j)=21n{n!)2、错位相减法求和若
3、数列的通项公式为"叭,其中0」中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和吋一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q,然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。例2已知如=肝+厂町+/4,+・・・+必1+£>"（nelT9a>O9b>0）当a=b时，求数列仏」的前n项和厲；解：当a=b时，以二s+l）/.由题可知，｛（幷+1）/｝的通项是等差数列｛«+!｝的通项与等比数列｛a*｝的通项Z积，这
4、时数列｛吗｝的前力项和Sj,=2a+3a?+4a3+•・+（”+l）a"①①式两边同乘以a,得aS»=+3a3+4a4+-+«a"+（«+l>,,+l②①式减去②式,得（1-0）3=勿+/+/+•••+/十+1）严1-a曲-a")a-(”+1"皿j(”+1)严十+2汨冷+2a(l_a『*^a■(1-a)'*3=2+3+…+刀+(力+1)="3+可3、反序相加法求和将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（°】+勺），Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第
5、n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到&的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.例3设'⑴,利用课本中推导等差数列的前池项和的公式的方法，可求得/(・》+/(・4)+・••+/(())+…+/(5)+/(6)的值为：112X—，2X解：因为f（x）=2*+血，."（］_/）二2“”+血2+722x"72+2x・•・f()+/'(1—X)_L，2x亠+丄72+2x72+2x1+-J=2X丄(旋+2。72_V2_1.4i一V2+2r-V2+2X~y
6、f2~2设S二f(-5)+f(-4)+・・・+f(6),贝Ijs二f(6)+f(5)+・・・+f(-5)・・・2S二(f(6)+f(-5))+(f(5)+f(-4))+•・・+(f(-5)+・・・f(6))=6血・IS二f(-5)+f(-4)+・・・+f(0)+…+f(6)=3E4、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和.也称分组求和法.例4求数列｛n(n+1
7、)(2n+l)｝的前n项和.翻.nak二上(上+1)(2上+1)=2上'+3上2+上ffir：lxXXS3.二乞上(上+1)(2上+1)另(2^+3“+上).・・M1将其每一项拆开再重新组合得：2Z尸+3艺疋+艺kSn=11i_2(卩+2*+…+/)+3(F+2?+•••+力°)+(1+2+…+“)«2(«+1)2+旳(幷+1)(2幷+1)*”(〃+1)=22-2~以(力+1)2(〃+2)=25、裂项相消法求和111=一—■«(«+!)n«+1.有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以
8、变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项Z差，其屮每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前"项和公式.这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。它适用于
9、型(其中｛务｝是各项不为0的等差数列，c为常数)、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有：a9=/(^+!)-/(«).(2m-1X2m+1)=I~2n+T)=I(«(爲_(m+1)(w+2)).=缶(亦-亦).(2nY.1,11、sinVzz.：_<=1
