常考常新的11种递推数列类型

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1、万方数据常考常新的1l釉递推数列类型山西任向阳秦慧明数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容，是高考的亮点，在近几年的高考中，纵观各地高考数学试题，“递推数列”几乎为必考题，且多以“把关题”的姿态出现。特别是2008年高考中，全国19套文理试卷中共有30多道数列问题，其中递推数列有20多道。数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推数歹u的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材，本文针对近年高考对递推数列问题考查的题型进行分析探讨。圊靠产口。卡只拧)这种

2、类型求巩的常用方法是“累加法”，能求出通项％的条件是∑厂(f)可求出。例1(2008年江西卷5)在数列{巩}中，圆=2，6／,，+1_巩+m1(1+÷)，则巩=，fA2+lnnB2+(／7--1)InnC．2+nlnnD．1+H+Inn答案：A解析：·．协1-时fn(1+》∥．铲甜?n(1啼，铲对?n(1两铲m+fn(1+击)累加得：an--Q1+z噼)每)(争萎量圈12．+I=八n)·巩这种类型求m的常用方法是件是n众f)可求出。‘百等)=2+In”“累积法”，能求出通项％的条例2(2004年全国卷I)

3、已知数列{a。)满足a，=1，口。=矾+212：+3a3+⋯+0—1)12。0≥2)则{d。}的通项为『1，n=l’铲{——，n≥2解：由已知，得函+，=矾+2a：+¨·+0—1)吼一，+n12．用此式减去已知式，得当拧≥2时，繇+1一编=刀巩即12．+1=("+1)口。又a2=12产1．．．函=1，旦：1，一aa-3，堕=4，⋯。—坠=玎“1122ta3tan，将以上n个式子相乘，得“。：罢∽≥2)圈an+l=pa。+和≠1。g≠o)这种类型称之为一阶线性递推数列，求通项吼的方法是“特征方程法”或“待定

4、系数法”。特征方程法：在12一印a。+g的两边同时减去特征方程x铆+g的根x2彳％，转化为等比数列；待定系数法，即令12。+九印(吼+x)，12n'1印％+0—1n与已知递推式比较，得。一1)九2q，即九2寿从而转化为{d，万等j是公比为p的等比数列。例3(2006年重庆卷)在数列{巩)中，若121-1，12．*1=2a。+30≥1)，则该数列的通项巩=。解：令a，，+九=2(日。+九)，与已知a，，=2a。+3m≥1)比较，得九=3，．·．靠，+3=2(编+3)(聍≥1)，．·．(瓯+3)是首项为口，+

5、3=4、公比为2的等比数列，．·．Ⅱ。+3=(d1+3)·2犷1=2肿1，．。．a。=2肿1-3豳s。叫动这种类型一般利用an=甚芝!，l’@≥2)，或a。=品一s。=厂(口。)-f(a。)消去s。0≥2)得到a。的递推关系式。或者利用an=s。～s。代入s。=八口。)0≥2)消去仉得到岛的递推关系式。体现转化，化归的数学思想。例4．(2008年四川文21)设数列{口0的前"项和为S。=2a。一2“，(I)求矾。m(

6、

7、)证明：{12n*1--2a。)是等比数列；(m)求(巩}的通项公式解：(1)因为函=

8、S，2a产s，+2，所以矾=2，＆=2由2a。：墨+2“知2a一1：，％，+2肿’=口一1+＆+2肿1得口一1=＆+2—1Q)所以a2=S,+22=2+22=6，&=2啦一22=12—4=8口3=＆+23=8+23=16．＆=2a3-23=32-8=24a4=ga+24=40(

9、

10、)由题设和①式知a肿，-2a。=(＆+2—1)一(。舅+2“)=2⋯一2“=2”所以{靠，一2a“，是首项为2，公比为2的等比数列。(Ⅲ)口。=(日。一2aPl)+2(口。-1--2a肛2)+···+2”一2(口2—2aT)+2

11、”1a1=(n+1)·2”’宦重函妯砜+w”0≠1、0．q*O，r*O)这种类型又两种求解思路：思路一，一般利用待定系数法构造等比数列，即令12n+1+九矿”印(口。+九矿)，口，，印口。+九∞～q)q”，与已知递推式比较，得九p—q)=r，郭x2舌j，从而转化为{口一+害j+gI是公比为P的等比数列；思路二，将递推式％，印a。+F两边同日寸除以P”1，得笋2争寺‘(詈y从而转化为类型一用累加法完成。例5．(2008年全国I文19)在数列(矾)中，m=1，骱，=2a。+2”(I)设6。=器证明：数列{b。

12、)是等差数列；(1I)求数列{函)的前月项和墨解：由d，，=2a。+2”，两边同除以2”．·．等=争+1．·．等一争：1，即6一一6。=1，．-．(6。)为以61-1为首项，1为公差的等差数列。(2)由(1)得：争=专+(”+1)×1=n．·．ck=挖·2护’．·．￡=20+2X2’+3×22+···+n2”一1．’．2＆=21+2X22+···+(胛一1)2n_’+"·2“．·．一＆=20+21+22+⋯+2”1一”·22{