2011高考数学总复习 8.7 圆锥曲线的综合问题夯实基础 大纲人教版.doc

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1、8.7圆锥曲线的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查：1.位置问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容，常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理.2.最值问题，最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.3.范围问题，范围问题主要是根

2、据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围，其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类转化、逻辑推理等多方面的能力.二、点击双基1.方程=

3、x-y+3

4、表示的曲线是()A.直线B.双曲线C.椭圆D.抛物线解析：原方程变形为=.它表示点(x,y)到点(-2,2)与定直线x-y+3=0的距离比是.故选B.答案：B2.若点（x,y）在椭圆4x2+

5、y2=4上，则的最小值为（）A.1B.-1C.-D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k(x-2),代入椭圆方程消去y得(4+k2)x2-4k2x+4k2-4=0.令Δ=0，k=±.∴kmin=-.答案：C3.双曲线-=1的离心率为e1，双曲线-=1的离心率为e2，则e1+e2的最小值为()A.4B.2C.2D.45解析：(e1+e2)2=e12+e22+2e1e2=++2··=2+++2(+)≥2+2+2×2=8.当且仅当a=b时取等号.

6、故选C.答案：C4.若椭圆x2+a2y2=a2的长轴长是短轴长的2倍，则a=___________________.解析：方程化为+y2=1,若a2>1,∴2

7、a

8、=2×2,a=±2.当0

9、a

10、.∴a=±.答案：±2,±5.P是双曲线-y2=1的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则

11、PA

12、+

13、PF

14、的最小值为____________________________.解析：设F′为双曲线的左焦点，∴

15、PF′

16、-

17、PF

18、=2.∴

19、PA

20、+

21、PF

22、=

23、PA

24、+

25、PF′

26、-2≥

27、A

28、F′

29、-2=-2.答案：-2诱思·实例点拨【例1】(北京春季高考)如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.(1)写出直线l的截距式方程;(2)证明+=;5(3)当a=2p时,求∠MON的大小.剖析：易知直线l的方程为+=1,欲证+=,即求的值,为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值,进而证得+=.由·=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON

30、=-1求得∠MON=90°.(1)解：直线l的截距式方程为+=1.①(2)证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0.②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根,故y1+y2=,y1y2=-2pa.所以+===.(3)解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,则k1=,k2=.当a=2p时,由(2)知,y1y2=-2pa=-4p2,由y12=2px1,y22=2px2,相乘得(y1y2)2=4p2x1x2,x1x2===4p2,因此k1k2===-1.所以OM⊥ON,即∠MON=90°.讲

31、评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】(黄冈高三调研)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),双曲线-=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如图)(1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;(2)当=λ时,求λ的最大值.5剖析：(1)求椭圆方程即求a、b的值,由l1与l2的夹角为60°易得=,由双曲线的距离为4易得a2+b2=4,进而

32、可求得a、b.(2)由=λ,欲求λ的最大值,需求A、P的坐标,而P是l与l1的交点,故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标,进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±x,两渐近线夹角为60°,又<1,∴∠POx=30°,即=tan30°=.∴a=b.又a2+b2=4,∴a2=3,b2=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2