立体几何(几何法)—线面角.doc

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1、立体几何（几何法）—线面角例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2，EC＝，FC＝，从而＝，＝.因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与

2、平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d

3、＝AG＝.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·＝0，·＝0，即2z＝0

4、且x－by＝0，令x＝b，则＝(b，，0)．设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则·＝0，·＝0，即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，令p＝1，则r＝，q＝－，＝.因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－＝0，故b＝，于是＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，cos〈，〉＝＝，〈，〉＝60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝

5、2，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．图1－4【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而A

6、D⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝＝.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.所以

7、直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．图1－5【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1D

8、A，又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知