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《线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是⑵两个非零向量与平行的充要条件是·=±
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5、2.向量的数量积公式若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且，,则（1）点乘公式：·=
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9、cosθ（2）模长公式：则，（3）夹角公式：（4）两点间的距离公式：若，，则，①两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。例1(福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则
10、异面直线A1E与GF所成的角是（）11A．B．C．D．（向量法，传统法）例2(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．点评：本题是将三棱柱补成正方体②直线与平面所成的角(重点讲述平行与垂直的证明)图1－2图1－1图1－3可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：若时（图）；若时（图）.11平面的法向量是向量的一个重要内容，
11、是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标(2)设出平面的一个法向量为(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。ABCDEFGxyz1.(线线角,线面角).在棱长为的正方体中，分别是的中点.（1）求直线所成角；（2）求直线与平面所成的角.11BCDPAxyz2.如图，底面为直角梯形，，面，，为的中点，求1）异面直线与所成角的余弦值；2）直线与面所成角的正弦值；③求二面角的大小1.范围：11
12、2.二面角的向量求法：方法一：如图，若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角.βlα方法二:设是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量与的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为,法向量的夹角为.注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。ABCPDExyz例：如图，，，求
13、二面角的大小。111.[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．2、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使.证明：（Ⅰ）平面；（Ⅱ）设。113、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：平面（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；114、(2011年高考全国新课标
14、卷理科18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。直线与平面平行或者垂直（重点掌握）11ABCDA111B11C11111D1111MN1.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M,N分别是A1B1，BB1的中点.求证:(1)MN//平面ACD1;(2)DB1⊥平面ACD1.2、如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，A
15、B⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．ABCDEP(I)求证：CD平面PAD；(II)求证：BE//平面PAD．3.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：（1）D1O//平面A1BC1;11（2）D1O⊥平面MAC.4.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,点D是AB的中点，求证：（I）AC⊥BC1；（II）A1C//平面CDB1；5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中
16、点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；11(2)平面ADE⊥平面A1D1G；11
