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1、线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为.2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()(A).(B).(C).(D).3.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是．4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为(A).30ο(B).45ο(C).60
2、ο(D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο,∠C=90ο,BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值是．二、典型例题例1.(96·全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.【18备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.
3、解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1中,(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线.作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.例3.已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=.(1)若D为BC的中点,
4、E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1;(2)试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.一、知识与方法要点：181．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂
5、足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方
6、体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，18∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，，∴．例2．如图，把等腰
7、直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．证明（1） 由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP
8、⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．设，则，，．例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，18∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交
