立体几何(几何法)—二面角(模型二)

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1、立体几何（几何法）—二面角（模型二）例1（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)【答案】解：(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)方法一：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴

2、、z轴建立空间直角坐标系．1－5因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因为PA＝1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)．故＝(，0，0)，＝(0，1，1)．设平面BCP的法向量为＝(x，y，z)．则所以不妨令y＝1，则1＝(0，1，－1)．因为＝(0，0，1)，＝(，－1，0)，设平面ABP的法向量为2＝(x，y，z)，则所以不妨令x＝1，2＝(1，，0)．于是cos〈1，2〉＝＝，所以由题意可知二面角C－PB－A的余弦值为.解法二：过C作CM⊥AB于M.图1－6因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥

3、CM，故CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N，联结NC.由三垂线定理得CN⊥PB.所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝，CM＝，BM＝.在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以＝，故MN＝.又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.所以二面角C－PB－A的余弦值为.例2（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)

4、若二面角的大小为,求的大小.ABCDPQM（第20题图）【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以,在中,,所以在中,,所以在中;