立体几何二面角问题.doc

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1、立体证明题(2)1.如图,直二面角D﹣AB﹣E中,四边形ABCD是正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求二面角B﹣AC﹣E的余弦值.2.等腰△ABC中,AC=BC=,AB=2,E、F分别为AC、BC的中点,将△EFC沿EF折起,使得C到P,得到四棱锥P﹣ABFE,且AP=BP=.(1)求证:平面EFP⊥平面ABFE;(2)求二面角B﹣AP﹣E的大小.3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求证:EF⊥平面P

2、DC.4.如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.(1)求证:AB⊥CD;(2)求二面角D﹣AB﹣C的正切值.5.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=120°,AB=2AD.(1)求证:平面PAD⊥平面PBD;(2)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.6.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,E是AB中点.(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1CE;(Ⅱ)求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值.7.如图,在四棱锥P﹣ABCD中

3、,PA⊥平面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点.(Ⅰ)证明:AB⊥平面BEF;(Ⅱ)若PA=,求二面角E﹣BD﹣C.8.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB⊥AD,BC∥AD且BC=4,点M为PC中点.(1)求证:DM⊥平面PBC;(2)若点E为BC边上的动点,且,是否存在实数λ,使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.9.如图,ABED是长方形,平面ABED⊥平面ABC,AB=AC=5,BC=BE=6,且M是BC的中点(Ⅰ)求证

4、:AM⊥平面BEC;(Ⅱ)求三棱锥B﹣ACE的体积;(Ⅲ)若点Q是线段AD上的一点,且平面QEC⊥平面BEC,求线段AQ的长.10.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB(1)求证:EA⊥平面EBC(2)求二面角C﹣BE﹣D的余弦值.11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,O为AD中点,M是棱PC上的点,AD=2BC.(1)求证:平面POB⊥平面PAD;12.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC

5、为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,E、F分别是CC1,BC的中点.(1)求证:平面AB1F⊥平面AEF;(2)求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值.13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.(I)求证:BD⊥平面ACFE;(II)当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦角.14.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE;(2)求正四棱锥P﹣ABCD的高h,使得二

6、面角C﹣AF﹣P的余弦值是.15.如图,已知斜三棱柱ABC一A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA1⊥AC1.(Ⅰ)求证:AC1⊥平面A1BC;(Ⅱ)求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值.试卷答案1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)由已知中直二面角D﹣AB﹣E中,四边形ABCD是正方形,且BF⊥平面ACE,我们可以证得BF⊥AE,CB⊥AE,进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE.(2)连接BD与AC交于G,连接FG,设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的

7、定义,可得∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角,解Rt△BFG即可得到答案.【解答】证明:(1)∵BF⊥平面ACE∴BF⊥AE…∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE…∴AE⊥平面BCE.…解:(2)连接BD与AC交于G,连接FG,设正方形ABCD的边长为2,∴BG⊥AC,BG=,…∵BF垂直于平面ACE,由三垂线定理逆定理得FG⊥AC∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角…由(1)AE⊥平面BCE,得AE⊥EB,∵AE=EB,B

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