求数列通项的方法探究-论文.pdf

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1、2014年第8期·解题秘笈·活数仆学求数列通项的方法探江苏苏州工业园区星海实验中学吴荣正数列问题的研究核心是对数列通项公式的求解．特别解：’．’al+3+3+⋯+3珥l=n①是在一些综合陛比较强的数列问题中，数列通项公式的求J·解往往是解题的突破口，求通项公式较难掌握的是已知数．．当n≥2时，al+3c2+3⋯+3ql=l二一．②J列的递推公式求通项。本文通过对一些典型例题的分析和解答系统地归纳出这一类问题的九种求解数列通项公式①-②得3"-}1．的方法。在①中，令n=l，得。=1'．_．．一、定义法例l：已知各项均为正数的数列{％)的前n项和满点评：令6=3％，利用6

2、=一(n≥2)先求f6}的通足．s1>1，且6s(％+1)(nrL+2)，求的通项公式；项，再求{％1的通项。四、累加法解：由口-=s-=(al+1)(+2)，解得叻=1或。】=2，由假例4：数列{％}中，al=2，an—l=％+cn(c是常数，n=l，2，3，设al=S1>1，⋯)，且al啦，0,3成公比不为1的等比数列．因此n，=2，又由％+-=Js一s=1(+1)(％+-+2)一1(1)求c的值；(2)求f％】的通项公式．解：(1)因为a。，n2，a3成等比数列，所以(2+e)=2(2+(1)(％+2)，3c)，解得c=O或c=2．得(+l+)(n，l+广％一3)

3、=O，即1一％一3=0或1=一，因当c=O时=02=劬，不符合题意舍去，故c=2．O，(2)当n≥2时，由于故。=—％不成立，舍去．因此an~一珥3，cE2一cb=c，从而{％}是公差为3，首项为2的等差数列，故{％}的通嘞一啦2c，项为0"=3n一1．点评：利用结论=Js一得到递推关系后，再利用定％c1=(n-1)c，义证明数列{是等差数列。所以0"-a1=[1+2+．．·+(n一1)]c=巫c二、构造法．例2：在数列{}中，01=2，=Aqn+(2一A)2n(n∈)又at=2，c=2，故n，l=2+n(n一1)=／Z2-n+2(n=2，3，⋯)．其中A>O，求数列f

4、n，l}的通项公式。当n=l时，上式也成立，所以珥l=nz_n+2(n=1，2，⋯)．解：由‰1=A珥l+(2一A)2(∈)，A>O，点评：递推关系式的特点决定了用累加法求通项方便。。z0"+1I：l一五、累乘法⋯(“=一㈤，例5：已知数列{中，。，=，前n项和S与an的关系所以(务一()}为等差数列，其公差为1，首项为是S．=n(2n一1)，试求通项公式Ⅱ，l。0，故务一()=n一1，所以数列{％}的通项公式为an=(n一1)解析：首先由s(2n一1)％易求的递推公式：A2．(2n+1)(2)···吾丽2n-3点评：虽然所求数列{不是等差、等比数列，但需要构·造等差、

5、等比数列。．．等=⋯‘=}三、公式法将上面n一1个等式相乘得：一(2n一3)(2n'5)(2n一7)⋯3·13———一———’例3：设数列{n，I}满足al+3Ⅱ2+3盼卜．．·+3％=，0∈Ⅳ．一al(——2———n——+———l——)—(——2——n-———1——)———(——2——n—-——3———)—'——"—7—"—5—求数列f}的通项；=1．58·解题秘笈·2014年第8期六、化归法由此可猜想出数列{％}的通项公式为％=(n一1)A2．以下用数学归纳法证明．例6：已知数列{}中，aa=2，an=(n≥2)，求通项二1十l(1)当n=l时，。。=2，等式成立．

6、公式。3—4一4(2)假设当n=k时等式成立，即=(一1)A％2k，解析：倒数化归得：：—L+2甘一—L：2习么ak+l=A吼+A“。+(2一A)2％a(k一1+)一A4+A32+～4+A++2+-一an(lan口1A2=【(+1)一1]A+2“．66·：+(n一1)一22n～3．．这就是说，当n=k+l时等式也成立．‰al““’an=—根据(1)和(2)可知，等式=(n一1)A2n··4n-3对任何／7,都成立．2≥点评：常用的化归还有对数化归，待定化归，一般需转例10．设正整数数列f}满足：啦=2，且对于任何n∈化为等比数列或等差数列的问题。+上七、待定系数法，，，

7、有2+上<—粤L<2+．Om+l1％例7：已知数列{c}中，c，=，c6‘c-+，一一一n+1(1)求a，n3；(2)求数列{％}的通项．其中b是与n无关的常数，且b≠±l。求出用n和b表示的％的关系式。解：(1)据条件得2+l(n一1)(、1+1)+“①解：递推公式一定可表示为G-A=b(cn_1-t~)的形式。h当n：1时，由2+<2f_1+1<2+，由待定系数法知：A=bAa,z、Ⅱ1“20’即有2l_1<22<21，·‘．b#l．A=一_6(一)吼解得<口<．因为al为正整数，故。1=1．故数列{c}是首项为C1-=，公比为当n=