巧用法向量解决空间角与距离问题-论文.pdf

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1、@⑨$鹤留@2014年第32期(总第260期)巧用法向量解决空问角与距离问题郑贝丽(福建省泉州市惠安二中，福建泉州362000)向量是数学中的重要概念之一，由于它具有几何形式和代该二面角为锐二面角，则0=(n．，n：)或0=一(n，，n：)(依据两平数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成面法向量的方向而定)，总有为联系多项内容的媒介。向量和数一样也能进行运算，而且用向Icosl0=Icos(n，n：)I=量的有关知识还能有效地解决数学，物理等学科中的许多问题，n1~n2尤其是为立体几何中提供了便捷的解题方法，从而在新教材人，所以此时．教A版高中数学选修2-1中

2、引入了空间向量。在立体几何中有比较难以解决的两大问题一角和距离的0=arcco$。若二求解问题。空间中的各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，以往学习空间角的问题，难点在于数形面角一1一p为钝二面角，则0=(n，n2)或0=一(nn：)(依据转换，“作、证、算”的规范步骤，这是对点、直线、平面所组成的空两平面法向量的方向而定)，总有Icosl0=lcos(n。，n：)I=间图形的位置关系要具有定性分析和定量的计算的能力。空间的距离包括：点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平行平面的距离、两个平行平面的距鼎⋯一黼离。同样的用常规

3、的解法中难点也在于数形转换，而且很容易造三、利用法向量解决空间距离的问题成视觉的误差，这对学生的空间想象能力有较高的要求。如果我原理：设分别以平面外一点P与平面内一点0为起点和终们应用向量和法向量，就可将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。特别是它的独有的优势——不用作图而直接计算。点的向量为a，平面的法向量为n，则P到平面的距离d等于a在n笔者通过几年的教学实践，就自己对法向量在解决空间角和距方向上正射影向量的模。1．用法向量求异面直线间的距离离的问题上，谈一些粗略的见解，不足之处望同行指正。一、直线的法向量与平面的法向量定义如图，a、b为异面直线，E、F为异面直线上任意

4、的两点，n为(1)如果n垂直于直线l，则称这个n为直线l的法向量，记作a、b的公共法向量，则a,b间的距离为d：毕n上l。—(2)如果表示n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这～个n为平面的法向量，记作nJ_d。二、利用法向量解决空间角的问题原理：根据向量的夹角公式cos(n。，n：)=TT，即可求ln1Il“2I任意的两向量夹角，再利用法向量把线与面所成的角以及面与2．用法向量求点到平面的距离面所成的角都转化成两向量的夹角问题来解。如图点P为平面外一点，点A为平面内的任意一点，平面1．求直线和平面所成的角的法向量为n，过点P作平面OL的垂线PO，记PA和平面仅所如图，已知PA为

5、平面Or,的一条斜线，n为平面的一个法向量，过P作平面ot的垂线PO，连结OA，则LPAO为斜线成的角为0，则点P到平面的距离为sin0=lPA和平面所成的角，记为e夕JI茬sin。=lsin(手一(，))I=Icos~，)l=／LO／咖-Ic0s(橱)l_揣3．直线到平行平面间的距离若直线与平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离都2球二面角的大小相等，因此要求直线到平行平面间的距离，只需在直线上任取一如图在二面角一l—B中n和n：分别为平面ot和B的点，用求点到平面间的距离的方法求解即可。(下转第201页)法向量，若二面角Ot—l—p，记二面角OL-1一p的大小为0。若l31

6、。画国囝画@2014年第32期(总第260期)当好班主任成就优秀班集体蔡丽华(四川省通江县诺水河镇临江中心小学，四川巴中636776)班主任工作是一项非常辛苦和琐碎的工作，不付出艰辛的助目的明确。在家长面前全班同学便纷纷制定个人目标和阶段劳动和辛勤的汗水是不会有收获的。要想培养一个先进的班集目标。大家齐心协力，刻苦学习，互帮互助，班上形成了一股浓郁体，使每个学生德、智、体、美等各个方面都得到充分发展，形成的学习氛围。家长们看到这样的班集体，作为班主任的我自然而良好的个性是每个班主任的愿望。要当好班主任，笔者认为需要然就在家长们的心目中有了一定的威信。从以下这些方面做起：(4)关爱

7、每一位学生。在物质上给予帮助，在生活上给予关(1)为人师表，做好示范。班级是学校教育、教学工作最基层心和爱护，在精神上给予鼓励和支持。在学习中那些学习差的；的级织单位，而班主任又是这个单位的组织者和管理者。在学校退步的；考试发挥不好的；有困难的；无母爱的等等。我常常用语里和学生接触的时间长，在学生面前自己是一面镜子、一本书。言开导、鼓励、教育他们，不断与他们谈心，这样既掌握了他们的因此规范学生的行为，首先规范自己的行为，在教育工作中要求心理活动，又消除了他们的精神压力，还取得了他