接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红——对2014年四川省高考数学卷理科第20题的拓展研究-论文.pdf

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1、教学参谋新颖试题2014年9月接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红——对2014年四川省高考数学卷理科第20题的拓展研究◎江苏省海安县立发中学朱函颍当直线JPQ的斜率不存在时，易得OT：~-分线段PQ；一试题再现、当直线PQ的斜率存在时，设PO：y=(X-C)(k≠0)，题目(2014年四川省高考数学卷理科第20题)已由+知椭圆c：十=l(n>6>0)的焦距为4，其短轴的两个端【y=(一c)，旷bn)x2-2k2~cx+aZ(k2c。一6)点与长轴的一个端点构成正三角形．=0，必有△=4a2b(1+k)>0，(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆c的左焦点，为直线=一3上任意一所，L／点，

2、过焦点腓的垂线交椭圆c于点P、Q．●11①证明D砰分线段PQ；②当最小时，求点的lYI坐标．本题综合考查了圆锥曲线，涉及的知识点有求标准方程、证明平分线段、线段长度的比值的最值问题及求点的坐标等，体现了数形结合、方程等数学思想．试题难度适中，题目新颖，能较全面地检查学生对平面解析几何的学习水平．22．对于第(1)问，易求得椭圆c的标准方程为0+冬Z=1．第(2)问中的条件“直线X-一3”恰是椭圆C的准线，笔者考虑，可否将第(2)问中的条件和第①问中的结论一般化呢?下面笔者将此拓展整理成文，以供参考．二、拓展研究结论1设F为椭圆c：+：1a>6>0)的一个焦b‘点，直线z是对应于焦点F的准

3、线，为z上任意一点，过焦点腓韵垂线交椭圆c于点P、Q，则D砰分线段Pp．证法一：(设直线)不妨设F为椭圆c：+：1(o>6>旷b‘2一0)的右焦点，如图1，则c，0)，右准线方程为=．学(上)，2010(7)．将等一吾_1两边对求导’得警一0'目=．2范宗标．一道高考模拟题的探究教学与反思[J]．中而P(粕，y0)关于轴的对称~#rgP(-yo)，所以双曲2x线在P，(—y0)处切线的斜率为一—bo学数学研究(上)，2006(10)．-．结论得证．瑶q3王泳彩．圆锥曲线的一个统一性质的探究与引申参考文献：1．邵秀丽．一道湖北高考试题的引申探究[J]．中学数[J]．中学教研，2012(4)

4、．皿中?敷．?高中版学2014年9月新颖试题谋对于左焦点和左准线该结论同样成立．证明：不妨设F为椭圆c：+：1(0>6>0)的右焦设直线和设点是直线与圆锥曲线问题中最常见的两种方法，上述结论类比到双曲线上也成立吗?答案是点，如图3，则F(C，0)．肯定的，于是就有如下的结论．因为4M与焦点环重合，所以弦P9的斜率存在，设．．2．卫f矿．)，2．结论2功双曲线c：一=1(a>0，6>0)的准线上b‘PQ：=k(—c)(≠0)，由{十=1’可得(6z+z)—任意一点，过该准线对应的焦点腓的垂线交双曲线1)，=(一c)，C于点P，Q，则D平分线段尸p(其中0为坐标原点)．2k2a~cx+a2(

5、k2c2-b)=0，必有△=4a2b(1+k)>0．证明方法与结论1相似，不再赘述所以。==，y(出2c)一，所椭圆与双曲线统称有心圆锥曲线，于是上述两个结论可以统一为如下结论．以弦的中点(，一丽kb2c)，直线。：一．结论3为有心圆锥曲线C：Ax。+上+2+2+1_O(A2+c2≠0)的准线上任意一点，过该准线对应的焦点F过点F与弦户lQ垂直的直线方程为y=一_1(—c)，由作韵垂线交有心圆锥曲线C于点P，Q，则0砰分线段6(其中0为坐标原点)．椭圆、双曲线称为有心圆锥曲线，而抛物线则称为：解得交点(等，一筹)，显然点准线=无心圆锥曲线．那么这个结论在抛物线中是否成立呢?，经过笔者的认

6、真探究，可以得到下面的结论．结论4劝抛物线C的准线上任意一点，过焦点F上．作韵垂线交抛物线c于点P，Q，则过点砰行于抛物线对称轴的直线平分线段．论．～证明：如图2，以抛物线C：结论6M为过有心圆锥=2px(P>O)为例，则焦点曲线C：Ax+I+2j+2JE十jO(A。+c2≠0)的焦点F的弦F(号，0)，准线方程为一P．设===的中点，且点与焦点环重D直线PQ的方程为x=my+．由合，则直线OM与过焦点F垂—直于弦尸9的直线的交点落在fy~=-2px，焦点晰对应的准线上(其中。为坐标原点)．1：+-p5-'得一2pmy-p=0，必图2在抛物线中亦可得如下结论．结论7为过抛物线C的焦点F的

7、弦的中点，且有△=和(1+m)>0，有”Q=2pm，慨Q=m(y，，Q)=点与焦点环重合，则过点和抛物线对称轴平行的直2pm+p，所以线段的中点为(pm2+，pm)．直线的线与过焦点睡直于弦pp的直线的交点落在准线上(其＼二／中0为坐标原点)．证明过程略．方程为Y：一m(、一号厶)，当=一二时，Ym，所以三、结束语(-，pmI，则过点砰行于抛物线对称轴轴的直线为＼，高考试题凝聚着命题组专家的集体智慧，预示高考y=pm，显然线段PQ的