【精品课件】131函数的单调性与导数.ppt

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1、1.3.1函数的单调性与导数1.3导数在研究函数中的应用oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减

2、函数，增函数减函数则f(x)在G上有单调性。G称为单调区间G=(a,b)复习与引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

3、较简单.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.如图,导数

4、表示函数在点处的切线的斜率.在x=x0处,,切线是“左下右上”式的,这时函数在x0附近单调递增;在x=x0处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在x1附近单调递减.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数.一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。例1已知导函数的下列信息:当14,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:当1

5、时,可知在此区间内单调递增;当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14临界点例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分

6、别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.利用导数讨论函数单调的步骤:(2)求导数(3)解不等式组得f(x)的单调递增区间;解不等式组得f(x)的单调递减区间.(1)求的定义域D说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的

7、定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.练习1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状练习3.讨论二次函数的单调区间.解:由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是练习4.求证:函数在内是减函数.解:由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.例4.设函数,其中a>0,求a的取值范围,使f(x)在区间[0,+∞)是单调函数.解:故当a≥1时,f′(x)<0恒成立,f(x)在[0

8、,+∞)上递减.又当0