高考数学复习点拨 几何体中向量的应用.doc

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1、几何体中向量的应用一．求异面直线间的距离ABCD图1如图1，若是异面直线、的公垂线段，、分别为、上的任意两点。令向量，则∥。，，，，。两异面直线、间的距离为：。（其中与、均垂直，、分别为两异面直线上的任意两点）例1．如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则ABCDOS图2，，，，。，。令向量，且，则，，，，。异面直线和之间的距离为：4用心爱心专心。例1．如图3，在正方体中，为的中点。求异面直线和间的距离？ABCDA1B1C1D1E图3分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则

2、，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为。一．求点到平面的距离ABC图4例2．如图4，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量。求证：到平面的距离=。分析：，=。例3．如图5，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点。求点到平面的距离。AA1DCBB1C1图5分析：为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则4用心爱心专心===。例1．如图6，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离。分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。AEA1DCBB1C1D1F图6则。，；设面的法向量为，则有：，，，又，所以点到截面的距离为=。一．求直

3、线到平面的距离ACBPEF图7例2．如图7，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。求与平面间的距离？分析：设、、的单位向量分别为、、，选取{，，}作为空间向量的一组基底。易知，===，设是平面的一个法向量，则4用心爱心专心，，即，AA1DCBB1C1D1图8直线与平面间的距离=一．求两平行平面间的距离例1．如图8，在棱长为的正方体中。求平面与平面间的距离。分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面的一个法向量，则，即，，平面与平面间的距离4用心爱心专心