高考数学复习点拨 空间向量坐标运算的应用

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1、空间向量坐标运算的应用空间向量是平面向量在空间中的推广，它既是一个代数研究对称同时又有几何特征，因此是解决空间问题的一个重要工具。因此空间问题可转化为代数运算，为问题的解决提供了简捷的渠道。一、求向量坐标例1、已知，求（1）a，b，c；（2）（a＋c）与（b＋c）所成角的余弦值。分析：本题考查空间向量的坐标运算，首先利用两个向量平行与垂直的充要条件求出x，y的值，再解决其他问题。解：（1）因为，所以，解得x＝2，y＝－4，这时a＝（2，4，1），b＝（－2，－4，－1），又因为，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝（3，－2，2）.（2）由（1）得（a

2、＋c）＝（5，2，3），（b＋c）＝（1，－6，1），因此（a＋c）与（b＋c）所成角的余弦值等于点评：要熟练掌握坐标运算条件下两个向量平行与垂直的充要条件，即若，，则有；，这是高考的热点内容。此外，在坐标运算条件中，两个向量数量积的计算公式以及变形，也具有非常重要的作用，应熟练掌握。二、求三角形的面积例2、已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），则这个三角形的面积等于_________.解：由于，其中是AB与AC这两条边的夹角，则，于是，所以，，，所以点评：三角形中的面积公式以及夹角公式长度公式等。一、证明垂直、平行、夹角问题例

3、3、如图，在正方体中，E、F分别是的中点。（1）证明：；（2）求AE与所成的角；（3）证明：面AED面解：取D为坐标原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、，E（2，2，1），F（0，1，0）.（1）因为＝（2，0，0）·（0，1，－2）＝0，所以.（2）因为＝（0，2，1）·（0，1－2）＝0，所以，即AE与所成的角为直角。（3）因为＝（0，2，1）·（0，1，－2）＝0，所以，因为，所以面AED，因为面所以面AED面点评：通过坐标法计算数量积去证明直线、平面间的平行、垂直关系，求直线的夹角问题，是高考的重点考查内

4、容。解决这类问题时，一般应结合图形，建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后求出相关向量的坐标，再进行计算和证明。二、解决探索性问题例4、在正方体中，已知E为棱上的动点，（1）求证：；（2）是否存在这样的E点，使得平面平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由。分析：两个平面垂直，就是两个平面所成的二面角等于，因此可以先求出两个平面所成的二面角的大小，再进行论证。解：如图，以DA、DC、所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。（1）设正方体的棱长为a，则易知下列各点的坐标分别为：A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，设E（0

5、，a，e），则，，所以，所以（2）存在，当E是的中点时符合题意。显然，点E的坐标为，设BD的中点为O，则，所以，因为，则，，而，则，所以，所以为二面角的平面角，又，则，所以平面平面EBD点评：本题我们在证明两个平面垂直时是通过两个平面所成的二面角等于来证明的，这种通过计算来论证位置关系的方法是非常重要的，另外在证明两个平面垂直时还可以通过两个平面的法向量垂直来证明。类似地，若要证明两个平面平行，则可以通过两个平面的法向量是平行向量来证明。