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时间:2020-03-31
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1、巧用正弦定理解题正弦定理是三角形中的一个重要定理,它揭示了三角形中边和角的关系,进而把三角函数的运算与代数式的运算联系起来,使解题极为方便。下面从五个方面举例说明:一、已知两角和任一边解三角形例1、在△ABC中,已知中,求,及△ABC的面积S解:依正弦定理:=,∴,代入已知条件,∵,又=,∴(或因为∠C=∠A,△ABC为等腰三角形,所以)∴点评:已知两角实际上第三个角也是已知的,故用正弦定理很方便可以求出其它边的值。二、已知两边和其中一边对角解三角形例2、已知在△ABC中,,解这个三角形解:由正弦定理及
2、已知条件有:,得,∵,∴,∴或,当时,,∴当时,,∴点评:两边和其中一边对角已知,容易求出另一边所对的角,从而三个角都可以求出。由于正弦函数在不是单调的,故要注意多解情况。用心爱心专心三、判定三角形形状例3、在△ABC中,若·=·成立,试判断这个三角形形状。解:用正弦定理,得:·=·,·=·,∴,即,根据三角形内角和定理,知、必都为锐角。所以A=B,即△ABC是等腰三角形。点评:由已知条件确定三角形的形状,主要通过两个途径:①化角为边,通过代数式变形求出边与边之间关系。②化边为角,利用三角恒等变形找出角
3、与角之间关系。一般情况下,利用三角恒等变形计算量会小一些。四、证明三角形中的三角恒等式例4、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明:.证明:由正弦定理得:.===.所以,.点评:由于不等式两边一边是代数式,一边是三角式,故通过正弦定理来把边全化为角,把证明转化为三角恒等变形的问题。五、处理实际问题例5在某点B测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30米,到点C处测得顶端A的仰角为,再继续前进米到点D点,顶端A的仰角为,求的大小和建筑物AE的高。解:如图所示,在中,,,,因为,,得
4、用心爱心专心,在中,,所以所求角为,建筑物高为15米。ABCDE24点评:本题关键在于把实际问题中的已知和所求的量用图形表示出来,把问题转化为三角函数的问题,再运用正弦正理解之。用心爱心专心
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