高考数学复习点拨 巧用圆心妙解题

高考数学复习点拨 巧用圆心妙解题

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1、巧用圆心妙解题圆是解析几何的基本图形之一,它既是中心对称图形,也是轴对称图形.在解决与圆有关的问题时,善于抓住圆心,可使问题迅速得到解决.1.最值问题例1已知,求的最大值与最小值.解:将已知方程配方,得,圆心,半径.,原点在圆外..又表示圆上动点到坐标原点距离的平方,的最大值为,的最小值为.点评:若点是圆外一点,则该点与圆上点的最大距离为,最小距离为;若点在圆内,则该点与圆上点的最大距离为,最小距离为.例2已知圆,点在圆上,求点到直线的最大距离和最小距离,并求最近点的坐标.解:将已知方程配方,得,   ①圆心,半径,圆心到直线的距离

2、,直线与已知圆相离,点到直线最大距离为,到直线最小距离为.过与垂直的直线方程是,    ②联立①,②,解得或(舍去)则点为圆上与直线最近的点.点评:当直线与圆相离时,圆上的点到直线最大距离为,最小距离为;当直线与圆相交时,圆上的点到直线最大距离为,最小距离为0(其中为圆心到直线的距离,为圆的半径).1.对称问题例3求与圆关于直线成轴对称的圆的方程.分析:圆关于直线对称的曲线仍是圆,且两圆大小相等,只是两圆圆心位置不同,因此,此类问题可化归为点关于直线的对称点问题来解决.解:将已知圆的方程配方,得,圆心,半径.设关于直线的对称点为,则

3、 解得所求圆的方程为,即.点评:求解点(或曲线)关于直线的对称问题时,还可利用代换法,比如本例,由,得代入已知圆的方程,得,化简即得所求对称圆的方程,即,该方法适合于求解客观题型.2.判断位置关系例4已知点是圆内异于圆心的点,则直线与此圆的交点的个数为(  )A.2个B.1个C.0个D.不能确定解析:点是圆内异于圆心的点,,即,圆心到直线的距离,故直线与圆没有交点,选(C).点评:判断点(或直线)与圆的位置关系时,常利用圆心到点(或直线)的距离与半径大小进行比较,该方法简捷方便.1.求参数的大小例5已知圆及直线,当直线被圆截得的弦长

4、为时,则(  )A.B.C.D.解析:如右图,依题意,圆心到直线的距离应等于1,即,.,,选(C).点评:在解与弦长有关的问题时,从圆的几何性质入手,运用垂径定理可得弦长(为圆的半径,为弦心距),从而使问题得以迅速解决.

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