高考数学复习点拨 巧用圆心妙解题

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1、巧用圆心妙解题圆是解析几何的基本图形之一，它既是中心对称图形，也是轴对称图形．在解决与圆有关的问题时，善于抓住圆心，可使问题迅速得到解决．1．最值问题例1已知，求的最大值与最小值．解：将已知方程配方，得，圆心，半径．，原点在圆外．．又表示圆上动点到坐标原点距离的平方，的最大值为，的最小值为．点评：若点是圆外一点，则该点与圆上点的最大距离为，最小距离为；若点在圆内，则该点与圆上点的最大距离为，最小距离为．例2已知圆，点在圆上，求点到直线的最大距离和最小距离，并求最近点的坐标．解：将已知方程配方，得，　　　①圆心，半径，圆心到直线的距离

2、，直线与已知圆相离，点到直线最大距离为，到直线最小距离为．过与垂直的直线方程是，　　　　②联立①，②，解得或（舍去）则点为圆上与直线最近的点．点评：当直线与圆相离时，圆上的点到直线最大距离为，最小距离为；当直线与圆相交时，圆上的点到直线最大距离为，最小距离为0（其中为圆心到直线的距离，为圆的半径）．1．对称问题例3求与圆关于直线成轴对称的圆的方程．分析：圆关于直线对称的曲线仍是圆，且两圆大小相等，只是两圆圆心位置不同，因此，此类问题可化归为点关于直线的对称点问题来解决．解：将已知圆的方程配方，得，圆心，半径．设关于直线的对称点为，则

3、　解得所求圆的方程为，即．点评：求解点（或曲线）关于直线的对称问题时，还可利用代换法，比如本例，由，得代入已知圆的方程，得，化简即得所求对称圆的方程，即，该方法适合于求解客观题型．2．判断位置关系例4已知点是圆内异于圆心的点，则直线与此圆的交点的个数为（　　）Ａ．2个Ｂ．1个Ｃ．0个Ｄ．不能确定解析：点是圆内异于圆心的点，，即，圆心到直线的距离，故直线与圆没有交点，选（Ｃ）．点评：判断点（或直线）与圆的位置关系时，常利用圆心到点（或直线）的距离与半径大小进行比较，该方法简捷方便．1．求参数的大小例5已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长

4、为时，则（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：如右图，依题意，圆心到直线的距离应等于1，即，．，，选（Ｃ）．点评：在解与弦长有关的问题时，从圆的几何性质入手，运用垂径定理可得弦长（为圆的半径，为弦心距），从而使问题得以迅速解决．