高中数学竞赛讲解之抽屉原则素材新人教版.doc

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1、抽屉原则在解决存在性问题时，抽屉原则是一个强有力的工具.抽屉原则Ⅰ将一个元素个数不少于的集合划分为个子集,,,，则至少有一个子集,2,…,其元素个数，其中，表示的最大整数．推论把一个元集划分为个子集，则至少有一个集合含有至少两个元素．我们称这里的子集,,,为个“抽屉”．应用抽屉原则解题的关键是构造合适的抽屉，在不同的实际问题中抽屉的表现形式是不一样的；即使是对同一问题也可以从不同角度制造不同的抽屉．抽屉原则I/从个互不相交的有限集中,,,取出个元素构成一个集合，则中至少有个元素属于某个,2,…,．抽屉原则Ⅱ将一个元素不

2、多于的集合划分为个子集,,,，则至少存在一个集合,2,…,其元素数目．抽屉原则Ⅲ把一个无限集划分为有限个子集,,,，则至少存在一个集合,2,…,仍为无限集．例1已知集合,,,,，是正整数，是的子集，满足：对任意,,(其中,,可以相同)都有，求所有这种集合的元素个数的最大值．解析考虑中那些较大的数．取,,,，显然，其中任三数之和大于．故．另一方面，作三元子集列,,,,，,,,，则，对于的任一个元子集，必包含有某个．若，则其中有元素；若某个，,,,，则其中有元素7．于是．所以，．抽屉原则应用过程中的抽屉制造实质就是对问题涉

3、及的某些对象进行分类.因此，首先应弄清楚对哪些对象分类，分多少类，按什么规则分．例2从,,,中任意选个数，证明：一定存在两个数的差恰好等于．解析按模的余数,,,,，把整数分类为类.现有个数，且，故由抽屉原则可知，在这个数中必有个数属于同一类，即这个数中任意两数的差都是的倍数.如果这个数中，每两个数之差都不是，那么这样的最小的个数是：，，，，，这与已知条件不符．所以，选出的个数中一定存在两数之差恰好等于.例3一位棋手参加周(天)的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下盘棋．证明：这位棋手必定在连续的几天内恰好下盘棋．解析用表

4、示这位棋手在第天至第天(包括第天在内)所下的棋的总盘数．由于棋手每天至少下一盘棋，所以．又由于棋手每周至多下盘棋，所以．要证明存在,,，使，这只需证明在,,,,,,中有两项相同即可．事实上，上面的个数中最小的，最大的．由抽屉原则I/，必有两数相同．例4试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同，问参加考试的学生最多有多少人?人数解析设每题的3个选择支为,,．如果参加考试学生有10人，则由抽屉原则Ⅱ知，第一题答案分别为,,7的三组学生中，必有一组不

5、超过3人，去掉这组学生，余下的学生中选出7人，则他们对第一题的答案只有两种．对于这7人关于第二题应用抽屉原则Ⅱ知其中必可选出5人，他们关于前两题的答案都只有两种可能，对于这5人关于第三题应用抽屉原则Ⅱ，又知可选出4人，关于第四题应用抽屉原则Ⅱ，知必可选出3人，他们关于4个题目的答案都只有两种，这不满足题中的要求．可见，所求的最多人数不超过9．另一方面，如果9个人的答案如下表所示，则每3人都至少有一个问题的答案互不相同．人数题目1234567891234所以，所求的人数最多为9．例5设,,,,是任意一个具有性质的正整数的

6、无穷序列．求证：这个数列中有无穷多个可以表示为，其中，,,,是适当的正整数，且．解析在给定的数列中任意取一项，因为是正整数，把全体正整数按的剩余类分类．由于正整数,,,,有无穷多个，所以由抽屉原则Ⅲ，上述个分类中至少有一类含有数列中的无穷多项．再由最小数原理，这无穷多个项中一定有一个最小的项，于是对这个剩余类中的其他任意一项都有，且．所以为某个正整数．取，即有．例6在不超过的非零自然数中任意取10个数，证明：这10个数中一定有两个数的比值在区间,内．解析不超过91正整数共91个，要把这些数分成组，使，可取的最大值是9．

7、现将,,,,这个数分为9组:，,，,,，,,,，7,,,，,,,，,,,，,,,，,,,．这9个组的每个组中任意两数之比适合．由抽屉原则I/，从这9个组中任意取10个数必有两数取自同一组，其比值在,内．在这里显然抽屉的个数不能多于9个，分类的规则是使每个抽屉中的任意两数之比落在区间,内．例7对一个的格阵用红、蓝两色进行染色．如果对任意一种染色方案总可找到由3行3列相交出的同色的9个方格，求的最小值．解析对于每一例，我们考虑相对“均匀”的染法：将其中3个方格染上一种颜色，其余2个方格染上另一种颜色．这样的不同染色方法共有

8、种．这提示我们，将格阵的前20列用上述20种不同染法染色，后20列也依前20列的方法对应进行染色．这样的话，无法找到满足题意的同色的格阵．故至少应为41．如果还是上述“均匀”的染法，那么只要再多一列，即，就必定出现满足题意的的同色格阵．如果不全是“均匀”的染法，是否还能出现的同色格阵呢？我们得换一个思路，若，因每列红、蓝格数必不相