高三数学理推理证明、数学归纳法、平面几何证明人教实验版知识精讲.doc

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1、高三数学理推理证明、数学归纳法、平面几何证明人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：推理证明、数学归纳法、平面几何证明二.重点、难点：1.合情推理（1）归纳推理（个别到一般）（2）类比推理（由特殊到特殊）2.演绎推理（三段论）（由一般到个别）3.直接证明、综合法、分析法4.间接证明：反证法5.平面几何证明（1）相似三角形（2）直线与圆（3）圆锥曲线性质6.数学归纳法（1）使用范围：与正整数有关的命题的证明。（2）使用步骤：①对的初始值（通常为）对应命题进行证明；②假设成立，再证明时成立（证明时，必用成立的结论）。（3）对证明时，代入的结论，还应充分利用其它证明方法，如：分

2、析法、综合法、比较法、反证法、数形结合等。（4）证明题目：恒等式、不等式、几何计数、整除、数列通项、前项和等。【典型例题】[例1]求证：。证明：（1），左右，成立（2）假设时成立即：当时，左右即时，成立用心爱心专心综上所述，由（1）（2）对一切命题成立[例2]求证：证明：（1），左右（2）假设时成立即：当时左右即：时成立综上所述由（1）（2）命题对一切成立另解：令中，∴用心爱心专心[例3]对于，，求证：。证明：（1），左右（2）假设时成立即：当时左右即时成立综上所述由（1）（2）对一切，命题成立[例4]在平面几何里，有勾股定理：“△ABC的两边AB，AC互相垂直，则。”拓

3、展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则。”解：设AB=，AC=，AD=∵三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直∴AB、AC、AD两两垂直∴作BE⊥DC于E，连结AE，则CD⊥AE在中，在中，用心爱心专心∴∴∴[例5]求证函数是奇函数，且在定义域上是增函数。解析：所以定义域为即，所以是奇函数任取，且则由于，从而，所以，故为增函数[例6]观察①；②。由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想。解析：观察40°－10°=30°，36°－30°=6°

4、，由此猜想：证明：用心爱心专心[例7]先解答（1），再通过类比解答（2）。（1）已知，求证：（2）已知，，求证：。分析：本题（1）与（2）从二元结构形式，类比到元结构形式，属结构形式上的形式类比，由（1）的证法，可类比得到（2）的证法。证明：（1）∵由不等式及都是正数可得：，∴，即（2）∵都大于0∴，…，用心爱心专心把上面n个式子相加得即[例8]已知都是实数，求证：。证明：以为依据，利用综合法证明。∵∴，∵，∴∵，∴将以上三个不等式相加得①即②在不等式①的两边同时加上“”，得即③在不等式②的两边同时加上“”，得即④由③④得[例9]已知P是△ABC所在平面外一点，已知PA、

5、PB、PC两两垂直，PH⊥平面ABC于H，求证：证明：连CH延长交AB于D∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB∴PC⊥AB，又PH⊥平面ABC∴PH⊥AB∴AB⊥平面PCH，PD⊥AB又PA⊥PB，由三角形面积公式有∴，又，用心爱心专心∴同理∴[例10]设。求证：。证明：要证成立只要证即证，也就是证只要证，即证∵，也就是证，显然成立故不等式成立[例11]实数满足，，求证：中至少有一个是负数。解答：证法1：假设都是非负数，由，知从而∴=1与已知矛盾∴中至少有一个是负数证法2：假设都是非负数，则这与已知矛盾∴中至少有一个是负数[例12]已知，求证：。证明：方法1（综合

6、法）∵∴用心爱心专心展开得∴方法2（分析法）要证∵故只需证即证亦即证而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立方法3：∵∴∴∴[例13]已知：是不全相等的正数。求证：证明：∵∴同理：三式相加得又∵不全相等，故等号不成立即[例14]已知：AB是⊙O的直径，DA⊥AB于A，DA//BC，且∠COD=90°，求证：DC是⊙O的切线。解析：∵DA⊥AB，DA//BC∴BC⊥AB∵∠COD=90°∴∠BCO=∠AOD∴△BCO∽△AOD用心爱心专心∴∴∴∠OCB=∠OCD∴OC是∠BCD的平分线∴O到CD距离等于OB∴CD是⊙O切线[例15]如图，在中，∠BAC=90°，

7、BC边的垂直平分线EM和AB、AC（或延长线）分别交于D、E，求证：。分析：将化为，问题转化为证明△AMD∽△EMA解析：∵∠BAC=90°，M是BC的中点∴AM=CM，∠MAC=∠C∵EM⊥BC∴∠E+∠C=90°又∵∠BAM+∠MAC=90°∴∠E=∠BAM∵∠EMA=∠AMD∴△AMD∽△EMA∴∴[例16]如图，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作AB的平行线，与AD、BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K。求证：KO2=KE·KF。分析：待证式变形为比例式须利用平行关系找比例关系而已知条件中KF//AB，产生