高二数学第二章 推理与证明人教实验版（B）知识精讲.doc

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1、高二数学第二章推理与证明人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：选修2—2第二章推理与证明二.教学目的：1、了解合情推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用归纳推理、类比推理和演绎推理等进行简单的推理，体会并认识它们在数学发现中的作用和重要性．2、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点．3、掌握间接证明的一种基本方法―反证法；了解反证法的思考过程、特点．4、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．三.教学重点、难点：重点：合情推理

2、、演绎推理以及证明方法——直接证明和间接证明；难点：对数学归纳法的理解四.知识分析：【本章知识结构】【重点知识回顾】1、合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．说明：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。（l）归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．用心爱心专心说明：归纳推理的前提与结论只具有偶然性联系，其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．其一般步骤为：①通过观

3、察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。（2）类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。说明：在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠．类比推理的一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。2、演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑

4、规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真．例如，由真命题a,b，遵循演绎推理规则得出命题q，则q必然为真．3、合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．4、证明（l）直接证明直接证明是从命题的条件

5、或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件．最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”,其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件，综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综

6、合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．（2）反证法（间接证明）一般地，由证明转向证明：,t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出q为真的方法，叫做反证法．5、数学归纳法（l）数学归纳法：设是一个与自然数相关的命题集合，如果①证明起始命题（或）成立；②在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定，用心爱心专心对一切正整数（或自然数）成立．（2）数学归纳法的框图表示（3）数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠

7、；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤称数学归纳法．这两步各司其职但缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真假，而是证明命题是否具备递推性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．【专题分析】一、推理推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式．由于数学中通常把判断称为命题，因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式．推理一般分为合情推理和演绎推理，合情推理包括归

8、纳推理和类比推理，演绎推理包括：假言推理、三段论推理、关系推理以及完全归纳推理．21、归纳推理例1.在数列中，，，猜想这个数列的通项公式。解：中，，所以猜想的通项公式证明如下：因为，，所以即所以数列用心爱心专心公差为的等差数列所以所以通项公式例2.在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？解：设n条直线分平面为部分，先实验观察特例有如下结果：n与之间的关系不太明显，但－有如下关系：观察上表发现如下规律：－＝n（n＝2，3，…）这