高三数学第一轮复习：推理与证明人教实验版（B）.doc

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1、高三数学第一轮复习：推理与证明人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：高三第一轮复习：推理与证明二.教学目的1、掌握合情推理与演绎推理的思想方法；2、掌握常见的直接证明和间接证明方法；三.教学重点、难点1、重点：通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法。体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程。在应用中熟练综合法、分析法及反证法，理解证明原理，掌握证明细节。2、难点：从实际问题认识命题的条件或结论出发，根据已知的定义，公理，定理，直接推论结果的真实性

2、，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程。学会用分析法和综合法证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联系。四.知识分析【知识梳理】1、从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论。2、人们判断问题经常使用的两种推理是合情推理和演绎推理。3、合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是由特殊到特殊的推理。（1）合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合

3、情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。（2）一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了。（3）合情推理的过程概括为：4、演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提――已知的一般结论；②小前提――所研究的特殊情况；③结论――根据一般原理，对特殊情况做出的判断。5、直接证明中最基本的两种方法是综合法和分析法。说明：（1）综合法是“由因到果”。即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。（2）综合法格式—

4、－从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“，”或“”。（3）分析法是“执果索因”用心爱心专心，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆证法或执果索因法。（4）分析法格式—－与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书面表达是“要证……只需……”或“”。6、一般地，假设

5、原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法。【要点解析】1、归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法。归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。2、类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式。类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或

6、一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。3、演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理。演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的。那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论。4、应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假设q；第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设，q不真，于是原

7、结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真。第五步：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况。【典型例题】例1.如图，设有双曲线，，是其两个焦点，点M在双曲线上，（1）若∠，求△的面积；（2）若∠△的面积是多少？若∠，△的面积又是多少？（3）观察以上计算结果，你能看出随的变化，△的面积将怎样变化吗？试证明你的结论。解析：（1）由双曲线方程知，，，设，，用心爱心专心由双曲线定义，有，两边平方得，即，也即，求得=9。（2）若∠，在△中，由余弦定理得，，∴，求得，

8、同理可求得若∠，。（3）由以上结果猜想，随着∠的增大，的面积将减小。证明如下：令∠，则，由双曲线定义及余弦定理，有②-①得所以。因为，，在内，是减函数，因此当增大时，减小。点评：（1）归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的