四阶微分系统广义主次谱之比的下界-论文.pdf

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1、第34卷第6期长春师范大学学报2o15年6月Vo1．34No．6JournalofChangchunNormalUniversityJun．2015四阶微分系统广义主次谱之比的下界黄振明(苏州市职业大学基础部，江苏苏州215104)[摘要]本文考虑四阶微分系统在齐次边界条件下广义谱的估计，利用算子谱空间理论、矩阵运算、分部积分和Cauchy—Schwartz不等式等方法，获得了主次离散谱之比的下界估计不等式，其估计系数与区间的几何度量无关，其结果是相关文献结论的进一步推广。[关键词]四阶微分系统；主次谱

2、；特征向量；下界；估计[中图分类号]O175．1[文献标识码]A[文章编号]2095—7602(2015)06—0001—05考虑如下四阶微分系统广义谱的估计问题Jq]=一入‘‘，⋯∈‘(1)【y(0)=Y(b)=0，k=0，1；：1，2，⋯，．其中(。，6)cR是一个有界开区间，p()∈C2[0，6]，q()∈CEa，6]，wq()∈CEa，6]，且满足p()：()，g()=qji(X)，Wij()：wj(z)(i，：1，2，⋯，n)，为方便推导，令pql】()q】2()qJ()pq2l()q22()

3、q2()P()=P兰2．；()三p兰22()⋯：三p三2；(；)1ll，Qc=q1()q以()q()W()=l【2l，()叫22()⋯2()lI，U：=[IlLy2：●1利用上述矩阵和向量记号，首先将微分系统(1)写成如下等价的矩阵形式f(P()U”)”+Q()U=～入(W(27)I1)，∈(a，6)，(2)【I1’(a)=u‘(b)=0，k=0，1．在推导定理的过程中还需用到如下条件：对任意n维向量=(，，⋯，亭)。有．II≤P()≤2Il．(3)Q()≥0．(4)[收稿日期]2014—12—23[作

4、者简介]黄振明(1962一)，男，江苏苏州人，苏州市职业大学基础部副教授，从事算子的特征值估计研究。z)1Il≤、7I，()≤2ll．(5)上述，(i=l，2)均为正常数，T表示转置．微分方程的离散谱问题是微分方程谱理论领域一个重要的研究课题，自从法国数学家Sturm和Liouville提出了有关离散谱函数空间理论之后，谱问题受到了越来越多的关注，特别是近数十年来，许多数学工作者运用Sturm—Liouville理论，对实际问题中产生的单个微分方程(如梁横向振动方程、重调和方程等)进行了谱估计，并取得了

5、一系列成果，有关结论可查阅文献[1—8]，但对于比较复杂的问题，为了更精确地描述它的自然现象，在归结方程时，就必须考虑更多的因素和它们之间的相互作用，其数学模型一般需要用微分方程组来表示。例如，在一定条件下，谐振回路的数学模型就可用四阶微分方程组来表示。为此，笔者讨论上述由任意多个方程构成的方程组(2)的广义谱估计，参照文献[1]的讨论方法，获得了关于问题(2)的主次离散谱之比的下界估计不等式，且其估计系数与区间的几何度量无关，文献[2]讨论的四阶微分方程广义谱问题仅是本文问题(2)当时的特例，因此问题

6、(2)的广义谱估计结果可视为文献[2]结论的进一步推广，在物理学和力学，特别是解决工程技术中的振动问题和稳定性问题时有着一定的参考价值“，同时，本文的工作对进一步讨论高阶常微分系统乃至偏微分系统的离散谱问题也有一定的启迪作用，主要结果如下．定理1设．)L。，入分别是问题(2)的主、次离散谱，且0<入。<．)L，则有≥(+鬻)～．首先，说明问题(2)的离散谱入都为正实数，在(2)两端乘U，再在区问(0，b)上积分，利用(3)、(4)和分部积分公式，并利用边界条件，可得AJ．(Ut)w()u'dx=fu_r

7、[(P()u+Q()u]=u)P()u”+uQ()u]≥肛fluldx≥0．(6)另外，由问题(2)中边界条件和(5)，可得f(Uf)W(X)Udx≥lfludx≥0．(7)由(6)和(7)可知，入为非负实数．另一方面，入不会等于零，否则由(6)知，U”：0，可推得U=C。十g2X(其中c。，c为任意n维常向量)，代人边界条件U(0)=U(0)：0，即得c。=c：=0，也即U0，而这与特征向量为非零向量矛盾，所以入=0．设问题(2)的主、次谱分别为入。和A，由上面的讨论知道，它们满足0<入．≤．)L，记

8、对应于．)L。的特征向量为U，且满足一IUT(W()u)dx=1．对上式分部积分得f(u)W()Uldx：1．(8)利用(5)和(8)，得≤fIu，ld≤z．(9)2l由(6)和(8)，得fI11nl：．(10)P,t此处，选择试验向量函数‘p()=(一g)u，式中常数q=f[(Up)w()u+UTw()U1]，利用分部·2·积分、q的定义和(8)，计算得b66J_‘p(一w()u)dx=』(‘p)w()u'dx：J-[(一q)(UI)+u