微分方程系统求解的伪谱方法课件.pptx

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1、航空航天中的计算方法授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院第二部分边值问题求解方法第6章微分方程求解的伪谱法2021/9/2内容提要6.1谱方法及伪谱法的概念6.2谱方法与Lagrange插值6.3正交多项式6.4最优配点分布6.5微分矩阵与两点边值问题求解[1]JohnP.Boyd,ChebyshevandFourierSpectralMethods(SecondEdition),DOVERPublications,Inc.,2000.Chap.1,3-6[2]Shen,J.,andTang,T.,SpectralandHigh-Ord

2、erMethodswithApplications（谱方法和高精度算法及其应用）,SciencePress,Beijing,2006,Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4）.2021/9/26.1谱方法及伪谱法的概念以N+1个全局基函数的加权和近似某一连续函数：其中：为多项式或三角函数。残差函数：例，二阶微分方程求解残差为某种准则下使残差最小，确定系数。6.1谱方法及伪谱法的概念Fourier谱方法谱方法2021/9/2在与未知量个数相对的特定点处令残差为零：配点法加权残差为零：加权残差法Galerkin法：。为权函数采用最佳配点

3、的谱方法，即伪谱法。6.1谱方法及伪谱法的概念2021/9/2谱方法、有限单元法、有限差分法的区别：有限单元法将区间分成一些子区间，在子区间选择局部多项式基函数有限差分是局部计算谱方法应用具有高阶次的全局基函数在整个计算域上6.1谱方法及伪谱法的概念2021/9/2伪谱方法精度高、收敛快、存贮省，适用于问题的几何特征平滑和规则时伪谱法的问题：如何选择最优的基函数？如何选择最优的配点？6.1谱方法及伪谱法的概念2021/9/26.2谱方法与Lagrange插值6.2.1Lagrange插值对函数f(x)，根据N+1个插值点的函数值，构造N

4、次插值多项式近似：其中，插值基函数：任意N次多项式Lagrange插值形式6.2谱方法与Lagrange插值等价2021/9/26.2.2Runge现象对任意光滑函数f(x)，根据均匀分布的N+1个插值点的函数值，构造N次Lagrange插值近似，误差随N增大趋于0？例：两端点附近的误差大端点附近插值点增多，中间可减少插值点随均匀分布时，误差随点数增多不收敛6.2谱方法与Lagrange插值2021/9/26.3正交多项式6.3.1函数正交性与正交多项式函数f(x)与g(x)在加权Sobolev空间上正交，是指其中为上的正值权函数。正交

5、多项式序列是指一系列的多项式，满足可规范化为x的n次首一多项式：6.3正交多项式2021/9/2任意n次多项式q(x)均可表示为正交多项式的线性加权和：若多项式序列是正交的，则多项式与任何不高于n次的多项式正交。若多项式序列是正交的，则多项式的零点是互不相同的实数，且位于开区间内。6.3正交多项式2021/9/26.3.2正交多项式的生成根据正交多项式的定义（首一情况为例）当，时，得到Legendre多项式当，时，得到Chebyshev多项式6.3正交多项式2021/9/2Legendre多项式：Chebyshev多项式：6.3正交多项

6、式2021/9/26.3正交多项式正交多项式曲线图：2021/9/26.4最佳配点分布6.4.1Gauss求积与Lagrange插值将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和：若适当选取和，可使公式对次数≤2N+1的多项式被积函数均精确成立，节点称为高斯点。等价于将函数f用Lagrange插值近似为插值多项式，然后求积分。若选用Gauss点插值，能实现最高精度。6.4最佳配点分布最佳配点（插值点）为Gauss点2021/9/26.4.2几类Gauss点Gauss求积点对于带权函数的Gauss求积：其中Gauss点为正交多项式的零点。由

7、方程组：可唯一解出，并且6.4最佳配点分布Gauss点不包括两端点a和b，求解边值问题使用不便2021/9/2Gauss-Radau求积点定义：若采用，以及多项式的零点作为求积点，称为Gauss-Radau求积点。由方程组：可唯一解出，并且6.4最佳配点分布Gauss-Radau求积点包括端点a2021/9/2Gauss-Lobatto求积点定义：则采用，，以及多项式的零点作为求积点，称为Gauss-Lobatto求积点。由方程组：可唯一解出，并且6.4最佳配点分布Gauss-Lobatto求积点包括端点a和b，适用于两点边值问题202

8、1/9/26.4.3常用正交多项式的Gauss点Chebyshev多项式的Gauss点Chebyshev-Gauss-Lobatto：6.4最佳配点分布2021/9/2Legendre多项式的Gauss点L