微分方程的经典求解方法.ppt

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1、稳态响应正弦输入多项式输入第二节微分方程的经典求法稳态响应：正弦输入输入量r假设为：待解的微分方程具有如下形式利用欧拉恒等式，可得响应函数c(t)将具有如下形式c(t)ss的n阶微分为矢量23求解C时间响应为：方程两边消去w为积分的最高阶次稳态响应稳态响应：正弦输入4当输入为正弦信号时，x=Xsint，则矢量方程为例:考虑注意，一个新词，频率传递函数G(j)，出现了。矢量输出与矢量输入之比称为频率传递函数，通常用G(j)表示。考察稳态响应稳态响应：正弦输入5微分方程的一般形式为多项式输入信号具有幂级数形式：输入信号的最高阶项假设解与输入信号有

2、相同的形式t<0,r(t)=0稳态响应稳态响应：多项式输入6稳态响应：多项式输入系数b0,b1,……,bq可以通过令方程左右两端具有关于t的相同阶次项的相应系数相等而计算得到方程(*)右端，t的最高阶数是k，因此，tk肯定也出现在方程的左端方程左端t的最高阶数取决于最低阶微分项D-wc，并等于q加上最低阶微分项的阶数。在假设的解中，t的最高阶项的阶数是输入信号与假设的解微分方程当方程(*)中的w=0时稳态响应(**)(*)7阶跃函数输入信号：当w=0，q=k=0时0阶跃t稳态响应稳态响应：阶跃函数输入8当w=0，q=k=1时斜坡函数输入信号：t0:

3、t1:稳态响应稳态响应：斜坡函数输入暂态响应经典方法拉普拉斯变换方法10微分方程的解有两种方法求解线性微分方程的解（时间响应）第一，直接求解微分方程，分别得到方程的特解和通解，然后将两部分解相加，得到方程的全解另一种方法是利用拉普拉斯变换暂态响应11微分方程的解：经典方法线性微分方程的一般解（响应）：特解解的稳态分量：与输入有同样的形式解的暂态分量：相应齐次方程的解暂态响应的形式仅仅取决于特征方程的根通解+暂态响应12非线性微分方程的响应形式也取决于初始条件或边界条件、特征方程的根、以及稳态分量的瞬时值线性微分方程的全解（响应）：微分方程的解：经典

4、方法暂态响应考察一般微分方程所对应的齐次方程：假设方程的解有如下形式在任意时刻均不为零特征方程如果所有的根mi均为单根i=1,2,…,v+w暂态响应：经典方法暂态响应13[s]ReIm解中的每一项emkt可被称为系统的一个模态如果所有的根均为单根，则方程的解具有如下形式：C(s)的极点m可以画在S平面上。如果所有的mk<0，则系统是稳定的，但即使只有一个极点mi>0，则系统是不稳定的。mjmiLT注意：每一项对于特征方程暂态响应：经典方法暂态响应1415由于暂态解中的系数是必须由初始条件决定，因此为了确定这些系数，必须要求提供v+w个已知的初始条件

5、注意，如果特征方程存在复根mk、mk+1（复根总是成对出现，称为共轭复根）那么，响应ct=???如果存在p重根mq，则系统暂态响应将相应地包含如下形式的函数对于特征方程暂态响应：经典方法暂态响应衰减振荡频率,有阻尼振荡频率系统暂态响应将相应地包含如下形式的函数利用欧拉恒等式其中，，对于共轭复根衰减系数暂态响应：经典方法暂态响应16与是共轭复数17这一项函数称为指数衰减正弦曲线，如果是负数，则函数曲线如右图所示，系统时间响应总是在包络线的两条分支之间变化。如果特征方程存在共轭复根，则系统暂态响应将包含如下图所示形式的函数只有当是负数时，系统才是稳

6、定的；如果是正数，则系统不稳定，这是我们要避免的情况。（欠阻尼）（过阻尼）暂态响应暂态响应：经典方法阻尼比和无阻尼振荡频率n当系统特征方程的根是一对共轭复根时，方程将具有二次方程式形式阻尼常数的临界值方程的根为定义阻尼比：和无阻尼振荡频率（自然频率）：令其为零系统的有效阻尼常数暂态响应1819用和n分析欠阻尼(0<<1)二阶系统标准形式系统暂态为：暂态响应阻尼比和无阻尼振荡频率n20（欠阻尼）（过阻尼）n越大，则系统暂态衰减越快问题：1)当=0时，暂态响应将是如何的？当>0或<0时呢？2)分别当>0和<0时，暂态相应

7、有什么区别？暂态响应阻尼比和无阻尼振荡频率n21当0<<1时，系统特征方程具有共轭复根，系统暂态是如形式的衰减正弦函数，欠阻尼当>1时，系统特征方程具有实根，系统响应是过阻尼当>0时，系统暂态随时间衰减，响应曲线c(t)将趋向于稳态值，这意味着系统是稳定的当<0时，系统暂态将随时间增加，响应是不稳定的，这意味着系统不稳定无阻尼振荡频率n定义为系统暂态持续振荡时的振荡频率，此时阻尼为零(b1=0)暂态响应阻尼比和无阻尼振荡频率n思考题：给定一个二阶系统，在过阻尼情况下，1）试证明：系统的输出响应函数是单调函数；2）请问：输出曲线是否

8、一定是单调减的？请说明原因。22时间常数定义暂态项具有指数形式Aemt，当m=-a(a>0)为负实数时，Ae-at具有如图