2、定,因此可把正态分布记作N(μ,σ2).2.要正确理解μ,σ的含义.若X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2,即μ为随机变量X取值的均值,σ2为其方差.3.若X是一个服从正态分布的随机变量,则对任意的常数a>0及b,随机变量aX+b也服从正态分布.【做一做1】若随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤c)=P(ξ>c),则c的值为()A.0B.μC.-μD.σ解析由正态分布密度曲线的性质知:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,其概率为图像与x轴以及垂直于x轴的直线所围成的图形的面积,则有c=μ.答案B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)标准正态
3、分布的均值与标准差分别为0和1.()(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()(3)如果一个随机变量是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,那么它就服从或近似服从正态分布.()(4)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2.()答案(1)√(2)√(3)√(4)×探究一探究二探究三思维辨析【例1】下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线,则下列说法不正确的是()A.三种品牌的石英钟时间误差的
4、均值相等B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好探究一探究二探究三思维辨析解析正态曲线中的参数μ,σ分别表示随机变量的均值和标准差.由图像可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误;再根据图像的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C,D正确.答案B探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图像可求μ.且①当σ
5、一定时,曲线随μ的变化沿x轴平移;②当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越分散.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.变式训练1如图为μ=0,σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的正态曲线,则σ1,σ2,σ3的大小关系是()A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3探究一探究二探究三思维辨析答案:D探究一探究二探究三思维辨析【例2】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人.分析本题主要考查正态分布及
6、其应用,解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率,将所给问题转化为上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.探究一探究二探究三思维辨析解依题意,由80~85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数,再求90分以上同学的人数.∵成绩服从正态分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.3%.由正态曲线的对称性知,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的设该班有x名同学,则x·34.15%=17,解得x≈50.又μ-2σ=80-10=
7、70,μ+2σ=80+10=90,探究一探究二探究三思维辨析∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.4%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.7%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.7%=2.3%.即有50×2.3%≈1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟服从正态分布的概率的求法(1)正态分布完全由参数μ和σ确定,其中μ是随机变量取值
