2017_2018学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1.1根式课件新人教A版.pptx

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1、第二章　基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第1课时　根　　式主题1n次方根及表示1.如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作x=±;如果x3=a,则x叫做a的三次方根(立方根),记作x=;若x4=a呢?提示:若x4=a,则x叫做a的4次方根,记作x=±.2.如果xn=a,则x叫做a的什么?如何表示?提示:若xn=a,则x叫做a的n次方根,若n为奇数,则x=;若n为偶数,则x=±(a≥0).结论:1.n次方根的定义及表示(1)定义:如果____,那么x叫做a的n次方根,其中n>1

2、,且n∈N*.(2)表示:xn=a⇔xn=a2.根式式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.【微思考】根据n次方根的定义,当n为奇数时,是否对任意实数a都存在n次方根?n为偶数呢?提示:当n为奇数时,对任意实数a,都存在n次方根,可表示为.但当n为偶数时不是,因为当a<0时,a没有n次方根;当a≥0时,a才有n次方根,可表示为±.主题2根式的性质观察下面的等式你能发现什么结论?提示:①一个数的n次方根的n次方等于其本身.②一个数的n次方后,再开n次方,当n为奇数时,等于其本身;当n为偶数时,等

3、于其绝对值.结论:根式的性质(1)()n=__.(2)aa

4、a

5、【微思考】1.求值与化简中常用到与()n,那么它们的含义是什么?提示:(1)表示实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n是奇数还是偶数的限制,a∈R.(2)()n表示实数a的n次方根的n次幂,其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定.2.()n=成立的条件是什么?提示:等式成立的条件是n为奇数,或n为偶数且a≥0.【预习自测】1.若x5=2017,则x等于()A.B.-C.±D.【解析】选A.由根式的定义知由x5=2017,得x=.

6、2.若m是实数,则下列式子中可能没有意义的是()A.B.C.D.【解析】选C.A,B,D中m∈R均成立,而对于C只有m≥0才成立.3.的值为()A.-6B.2-2C.2D.6【解析】选A.=(-6)+

7、-4

8、+-4=-6+4-+-4=-6.4.15的平方根为________.【解析】由平方根的定义知15的平方根为±.答案:±5.-243的5次方根为________.【解析】因为(-3)5=-243,所以-243的5次方根为-3.答案:-36.计算下列各式的值【解析】(1)=

9、-2

10、+2=4.(2)=x

11、-2+x-2=2x-4.答案:(1)4(2)2x-4类型一n次方根的概念【典例1】(1)下列说法中:①16的4次方根是2;②的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()A.①③④B.②③④C.②③D.③④(2)已知64的平方根为a,a的立方根为b,求a+b的值.【解题指南】(1)由根式的概念及运算性质对每一说法作出判断.(2)先由平方根的定义求出a的值,再由立方根的定义求出b,进而确定a+b的值.【解析】(1)选D.①

12、16的4次方根应是±2;②=2;由根式的概念及运算性质知③④正确,故选D.(2)因为64的平方根为±8,故a=±8.当a=8时,b==2,所以a+b=10.当a=-8时,b==-2,所以a+b=-10.故a+b的值为10或-10.【方法总结】根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数.(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.【巩固训练】(1)若x6=2017,则x是________.(2)-2017的五次方根是________.【解析】(1)因为x6=2017,所以x=±.答

13、案:±(2)-2017的五次方根是-.答案:-【补偿训练】已知81的四次方根为a,-27的立方根为b,求a+b的值.【解析】由条件知a=±3,b=-3,故a+b=0或a+b=-6.类型二　根式性质的应用【典例2】若,求实数a的取值范围.【解题指南】先对根式化简,然后确定a的取值范围.【解析】=

14、2a-1

15、,=1-2a.因为

16、2a-1

17、=1-2a,故2a-1≤0,所以a≤.【延伸探究】1.若将条件“”换为“=”,则a的取值范围是什么?【解析】由=

18、2a-1

19、,=2a-1,所以

20、2a-1

21、=2a-1,故2

22、a-1≥0,所以a≥.2.若条件不变,试化简【解析】因为a≤,所以a-≤0,所以=-a.【方法总结】1.根式化简应遵循的三个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.(2)被开方数是带分数的要化成假分数.(3)被开方数中不能含有分母;使用(a≥0,b≥0)化简时,被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.2.有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用:充分利用已知条件,确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数,确定被开方数是正数还是